拓展中国剩余定理

我们需要求出一个不定方程的一个解：

\(\begin{cases}x&\equiv a_1\pmod {n_1}\\x&\equiv a_2 \pmod{n_2}\\ &\vdots\\x&\equiv a_k\pmod{n_k}\\\end{cases}\)

其中x为我们需要求解的

第一个不定方程通解为 \(x = a_1 + tn_1\)

我们设前 \(i-1\) 个不定方程的通解为 \(x+t \text{lcm}\)

带入第 \(i\) 个方程，得到 \(x + t \text{lcm} \equiv a_i \pmod{n_i}\)

即为 \(t\text{lcm} + y n_i = a_i - x\)

使用 \(\text{exgcd}\) 求出 \(t\) 的一个解

得到： \(x' = x + t \text{lcm}\)

通解为： \(x' + t'\text{lcm'}\)

继续求解即可

参考代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

int q;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b) {
		x = 1,y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y -= (a/b)*x;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	if(!b) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
const int N=18;
int n[N],a[N];
int main()
{
	
	scanf("%d",&q);
	for(int i = 1;i <= q;i ++){
		scanf("%d %d",&n[i],&a[i]);
	}
	ll ans = a[1],lcm=n[1];
	for(int i = 2;i <= q;i ++){
		ll x,y;
		exgcd(lcm,n[i],x,y);
		
		x = x*(a[i]-ans)/gcd(lcm,n[i]);
		ans = ans+x*lcm;
		lcm = lcm*n[i]/gcd(lcm,n[i]);
	}
	printf("%lld",(ans%lcm+lcm)%lcm);
	return 0;
}