均方差化简

我们知道均方差为：

\[\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} \, (x_i-\overline{x})}{n}} \]

我们要让这个东西最小，并且n为定值，那么就是要\(\sum_{i=1}^{n} \, (x_i-\overline{x})\)最小

括号打开得到

\(\sum_{i=1}^{n} \, x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n} x_i\overline{x} + n\overline{x}^2\)

我们已知

\(\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}\,x_i}{n}\)

可以得到

\(\sum_{i=1}^{n} \, x_i = n\overline{x}\)

因此原式化为

\(\sum_{i=1}^{n} \, x_i^2 - 2n\overline{x}^2 + n\overline{x}^2 = \sum_{i=1}^{n} \, x_i^2 - n\overline{x}^2\)

其中 \(n\overline{x}^2\) 是定值可以预处理得到，因此只需要 \(\sum_{i=1}^{n} \, x_i^2\) 最小即可。