[数论]取模

Mod

一、long long 乘法取模

核心思想

用long double 估计商的取值，然后任它溢出,它的真实答案和它%\(2^{64}\)次方答案是一样的
\(x*y\)%\(m = x*y-\dfrac{x*y}{m}*m\)

代码

ll mul(ll x,ll y,ll m)
{
	x%=m;y%=m;
	ll d = ((long double)x*y/m);
	d = x*y-d*m;
	if(d>=m)d-=m;
	if(d<0)d+=m;
	return d;
}

二、分数取模(没有逆元的情况)

例题：求\(S=\sum_{i = 1}^{n}q^i \bmod p\)

很容易发现的等比求和，\(S = \dfrac{q*q^{n-1}}{q-1}\)

因为\(q-1\)和\(p\)不一定互质,因此可能不存在逆元
所以我们必须转化
\(S = \dfrac{q*q^{n-1}}{q-1}\)
两边同乘一个数不改变同余性质那么我们给两边同乘分母
\((q-1)S = q*q^{n-1} mod (p*(q-1))\)

现在用快速幂就能解决啦，最后\(S\)再除以\((q-1)\)就是答案了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
ll q,n,p;
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ans = 1,base = a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans = ans*base%p;
		}
		base = base*base%p;
		b>>=1;
	}
	return ans%p;
}


int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		long long x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		q = x,n = y,p = z;
		p = p*(q-1);
		ll s = (ksm(q,n+1,p)-q)%p;
		s/=(q-1);
		cout<<(long long)s<<endl;
	}
	return 0;
}

三、组合数取模(基本)

例题：回答T组询问，输出\(C_{n}^{m} \bmod 10^9+7\)的值。

\(C_{n}^{m} = \dfrac{n!}{m!*(n-m)!}\)
\(\dfrac{a}{b} \bmod p\) ==> \(a \bmod p*(b \bmod p)^{-1}\)
即

1. \(n!*(m!)^{-1}*(n-m)^{-1}\)

2. \(inv[i] = (p-\dfrac{p}{i})*inv[p\)%\(i]\)%\(p\)

   代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7+10;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
ll fac[N],fnv[N];

ll ksm(ll a,ll b)
{
	ll ans = 1,base = a;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
		{
			ans *= base;
			ans %= mod;
		}
		base *= base;
		base%=mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

ll binom(int n,int m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return fac[n]*fnv[m]%mod*fnv[n-m]%mod;
}

int main()
{
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i<=N;i++)
		fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
	fnv[N] = ksm(fac[N],mod-2);
	for(int i = N;i>=1;i--)
		fnv[i-1] = fnv[i]*i%mod;
	assert(fnv[0]==1);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<binom(a,b)<<endl;
	}
	return 0;
}

四、取模的封装

代码

typedef long long ll;
struct modular_arithmetic {
    const int mod = 998244353;
    int add(ll a, ll b) {
        return (a % mod + b % mod) % mod;
    }
    int mul(ll a, ll b) {
        return ((a % mod) * (b % mod)) % mod;
    }
    int pow(ll x, ll n) {
        if (n == 0) return 1;
        int res = pow(x, n / 2);
        res = mul(res, res);
        if (n % 2) res = mul(x, res);
        return res;
    }
    int inv(ll x) {
        return pow(x, mod - 2);
    }
    int div(ll a, ll b) {
        return mul(a, inv(b));
    }
};
modular_arithmetic mod;