浅谈欧拉相关
欧拉定理和函数的一些理解
欧拉定理
先放式子：
\[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}
\]
前提是 \(\gcd(a,m)=1\)。
证明：
设 \(r_1,r_2,...r_{\varphi(m)}\) 为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系，那么 \(ar_1,ar_2,...ar_{\varphi(m)}\) 也为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系。
所以：
\[r_1r_2...r_{\varphi(m)}\equiv ar_1ar_2...ar_{\varphi(m)}\pmod{m}
\]
化简：
\[r_1r_2...r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2...r_{\varphi(m)}\pmod{m}
\]
两边一消，则可得 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}\)。
扩展欧拉定理：
\[a^b\equiv \begin{cases}
a^{b\mod \varphi(m)},&\gcd(a,m)=1\\
a^{b},&\gcd(a,m)\neq 1,b<\varphi(m)\\
a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)},&\gcd(a,m)\neq 1,b\ge \varphi(m)
\end{cases}
\]
证明还不会。
欧拉函数：
定义： \([1,N]\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数。
求法：\(\varphi(N)=N*\Pi_{i=1}^{s}\frac{p_i-1}{p_i}\)，\(s\) 为 \(N\) 质因数分解后互异素数的个数。
证明：
- 引理：设 \(p\) 为任意质数，那么 \(\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\)
- 证明：显然对于 \(a\in [1,p^k]\)，只有 \(a\) 为 \(p\) 的倍数时才会与 \(p^k\) 不互质，而在 \([1,N]\) 中只有 \(p^{k-1}\) 个 \(p\) 的倍数，所以 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)\)
- 由唯一分解定理 \(N=\Pi_{i=1}^sp_i^{m_i}\)，又因为 \(\varphi\) 的奇性，所以 \(\varphi(N)=\Pi_{i=1}^s\varphi(p_i^{m_i})=N*\Pi_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}\)
性质：
-
欧拉函数是一个奇性函数，\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) 当 \(\gcd(a,b)=1\)
-
\(n=\Pi_{d|n}\varphi(d)\)
证明：
- 如果 \(\gcd(k,n)=d\)，则 \(\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d})=1\)
- 设 \(f_x\) 表示 \(\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=x]\)，那么 \(n=\sum_{i=1}^nf_i\)
- 由以上两条性质可以推出 \(f_i=\varphi(\frac{n}{i})\)，因此 \(n=\sum_{i=1}^n\varphi(\frac{n}{i})\)，转换成枚举 \(\frac{n}{d}\)，则 \(n=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\)
-
设 \(p\) 为质数，若 \(p|n\) 且 \(p^2|n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times p\)
-
若 \(p|n\) 且 \(p^2\nmid n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(n/p)\times (p-1)\)
3，4的性质直接根据朴素求法即可得。
因此欧拉函数可以根据奇性函数的性质线筛，也可以根据 \(3,4\) 线筛。
