算法第五章作业

关于最小重量机器设计问题的回溯法分析

1.1 解空间
“最小重量机器设计问题”的解空间由所有可能的部件供应商选择方案构成。具体来说，若机器由 m 个部件组成，每个部件可从 n 个供应商处购买，则解空间为每个部件分配一个供应商编号的所有组合。解的形式为一个长度为 m 的向量 (x₁, x₂, …, xₘ)，其中 xᵢ ∈ {1, 2, …, n} 表示第 i 个部件选择的供应商。所有可能的组合数为 nᵐ。

1.2 解空间树
该问题的解空间树是一棵高度为 m+1（根结点深度为0）的完全 n 叉树。根结点表示初始状态，即尚未对任何部件选择供应商。第 k（1 ≤ k ≤ m）层结点对应前 k 个部件的供应商选择结果。每个非叶子结点有 n 个分支，分别代表对当前考虑的第 k 个部件选择第 1 至第 n 个供应商。叶子结点位于第 m 层，每一个叶子代表一个完整的选择方案。

1.3 遍历过程中结点的状态值
在深度优先遍历解空间树时，每个结点（对应一个搜索状态）需要维护以下状态信息：

• 当前总重量：从根到当前结点路径上已选部件的重量累加和。
• 当前总成本：已选部件的成本累加和。
• 当前部分解向量：记录从根到当前结点所作的选择，即一个长度小于等于 m 的供应商编号序列。
• 剩余部件的最小可能重量：根据未考虑部件的最小重量估计值，用于计算重量的下界。

在搜索过程中，利用以下两类函数进行剪枝：

• 约束函数：若当前总成本已超过规定的成本上限，则剪去该分支，因为后续选择无法得到可行解。
• 限界函数：若当前总重量加上剩余部件的最小可能重量已经不小于当前已找到的最优解的总重量，则剪枝，因为该分支不可能得到更优解。

对回溯算法的理解
回溯算法是一种在问题的解空间树中进行系统性深度优先搜索的通用算法框架。其基本思想是“试探与回退”：沿着树的路径逐步构造部分解，每当扩展一个结点时，先判断当前部分解是否满足约束条件与最优性边界；若满足，则递归进入下一层继续构造；否则，立即回溯至上一层结点，尝试其他可能的分支。

回溯算法尤其适用于解空间较大但结构清晰的组合优化问题，其核心优势在于通过剪枝大幅减少实际搜索的结点数。算法的效率很大程度上依赖于约束函数与限界函数的设计：越早、越精确地剪去无效分支，算法性能越高。尽管在最坏情况下时间复杂度仍可能是指数级，但通过合理的剪枝，回溯法往往能在可接受时间内求解中等规模的问题。

总而言之，回溯法体现了“以深度优先的方式系统搜索，并通过局部判断提前舍弃无效路径”的智能搜索策略。它将穷举法与问题特定的约束、界函数相结合，是一种兼顾通用性与效率的经典算法设计技术，广泛应用于组合优化、人工智能、运筹学等领域。