【算法刷题】动态规划 Day5

最近在复习期末，做题少了

今天做了一道题，这道题确实是好题
加上上次做了没写的一道题，就勉强成篇了

P1854 花店橱窗布置

题目描述

某花店现有 \(F\) 束花，每一束花的品种都不一样。至少有同样数量的花瓶，被按顺序摆成一行。花瓶的位置是固定的，从左到右按 \(1\sim V\) 顺序编号，\(V\) 是花瓶的数目。

花束可以移动，并且每束花用 \(1\sim F\) 的整数标识。所有花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序。例如，假设杜鹃花的标识数为 \(1\)，秋海棠的标识数为 \(2\)，康乃馨的标识数为 \(3\)，即杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。每个花瓶只能放一束花。

每个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶中放入不同的花束时，会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数 \(a_{i,j}\)）来表示，空置花瓶的美学值为 \(0\)。在上述的例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，可以用如下的表格来表示：

	花瓶 1	花瓶 2	花瓶 3	花瓶 4	花瓶 5
杜鹃花	\(7\)	\(23\)	\(-5\)	\(-24\)	\(16\)
秋海棠	\(5\)	\(21\)	\(-4\)	\(10\)	\(23\)
康乃馨	\(-21\)	\(5\)	\(-4\)	\(-20\)	\(20\)

根据表格，杜鹃花放在花瓶 \(2\) 中，会显得非常好看，但若放在花瓶 \(4\) 中，则显得很难看。

为了取得最佳的美学效果，必须在保持花束顺序的前提下，使花的摆放取得最大的美学值，如果具有最大美学值的摆放方式不止一种，则输出任何一种方案即可。

输入格式

输入文件的第一行是两个整数 \(F\) 和 \(V\)，分别为花束数和花瓶数。

接下来是矩阵 \(a_{i,j}\)，共 \(F\) 行，每行 \(V\) 个整数，\(a_{i,j}\) 表示花束 \(i\) 摆放在花瓶 \(j\) 中的美学值。

输出格式

输出文件的第一行是一个整数，为最大的美学值；接下来一行 \(F\) 个整数，为那束花放入那个花瓶的编号。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 5
7 23 -5 -24 16
5 21 -4 10 23
-21 5 -4 -20 20

输出 #1

53
2 4 5

说明/提示

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le F\le V\le 100\)。

感谢 @罗恺 提供 SPJ

解法&&个人感想

我相信转移方程非常容易推出来，那么卡我们的就是这个搜索
因为上次记前驱的方法难以使用，便只能dfs
我们利用的原理就是，对于某盆花，其他的花一定摆在它前面
然后找到第一个与转移方程相符的（采用了贪心思想），然后接着搜

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define maxn 105
#define maxm 105
using namespace std;
int n,m;//n是花的数目，m是瓶子的数目
int ma[maxn][maxm];
int dp[maxm][maxn];//表示前i个花瓶放了j个花得到的最大值
const int INF=1e9;
stack<int>s;
void print(int x,int sum,int m){
    if(x==0){
        while(!s.empty()){
            int tem=s.top();s.pop();
            cout<<tem<<' ';
        }
        return ;
    }
    int temp=0;
    for(int i=m;i>=x;i--){
        if(sum-ma[x][i]==dp[i-1][x-1]){
            temp=i;
            s.push(i);
            break;
        }
    }
    print(x-1,sum-ma[x][temp],temp-1);
    return ;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>ma[i][j];
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++) dp[i][j]=-INF;
    }
    for(int i=0;i<=m;i++) dp[i][0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n&&j<=i;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+ma[j][i],dp[i-1][j]);
        }
    }
    cout<<dp[m][n]<<endl;
    print(n,dp[m][n],m);
    system("pause");
    return 0;
}

重点还是下面这道题

P2340 [USACO03FALL] Cow Exhibition G

题目背景

题目描述

奶牛想证明它们是聪明而风趣的。为此，贝西筹备了一个奶牛博览会，她已经对 \(N\) 头奶牛进行了面试，确定了每头奶牛的智商和情商。

贝西有权选择让哪些奶牛参加展览。由于负的智商或情商会造成负面效果，所以贝西不希望出展奶牛的智商之和小于零，或情商之和小于零。满足这两个条件下，她希望出展奶牛的智商与情商之和越大越好，请帮助贝西求出这个最大值。

输入格式

第一行：单个整数 \(N\)，\(1 \le N \le 400\)。

第二行到第 \(N+1\) 行：第 \(i+1\) 行有两个整数：\(S_i\) 和 \(F_i\)，表示第 \(i\) 头奶牛的智商和情商，− \(1000 \le S_i;F_i \le 1000\)。

输出格式

输出单个整数：表示情商与智商和的最大值。贝西可以不让任何奶牛参加展览，如果这样做是最好的，输出 \(0\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
-5 7
8 -6
6 -3
2 1
-8 -5

输出 #1

8

说明/提示

选择第一头，第三头，第四头奶牛，智商和为−5+6+2 = 3，情商和为7−3+1 = 5。再加

入第二号奶牛可使总和提升到10，不过由于情商和变成负的了，所以是不允许的

解法&&个人感想

至少这种题对于我这样的人是有初见杀的，为什么？
因为不知道这个看似零一背包的东西从何做起
那么，我们的数学建模就要大显身手了
既然看着像零一背包，那么我们肯定需要一个价值和一个体积
而题目中的两个量是对称且互不相关的，所以我们随便取其中一个为体积，另一个为容量
有人会问，诶你这个根本不符合体积的定义啊？我们体积是有上限的
对啊，体积是有上限的，题目的数据范围不是给你了吗（笑），我们遍历的时候按这个来就可以了，最终答案是下标与价值之和
也有人会问，诶你的数组下标有负数，这怎么办？
当然，我们可以采取一种“偏移的方式”，将负数转为正数，而正数变得更大，这样就可以避免负数下标了
然后我们就开始写代码，发现答案是错的，why？
我们从零一背包的角度来看，我们采用滚动数组时为什么要用逆序？
当然是避免小的数在更新大的数之前就被更新了
那么，这道题如果对于负数，我们逆序更新，不就是小的数在更新大的数（想想\(j-s[i]>j\)）之前就被更新了吗？
好好想一想
所以我们要用这个数，而遍历的范围是整个数组（除了不让\(j-s[i]\)越界报错外，其他的都应该被更新）
另外，最后的\(d[i]>=0\)，才能实现题目中所谓的如果怎么拿都不是最优，就不拿了的要求
初始化的值也要注意

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define maxt 801005//这个是数组的大小
#define maxm 400001//因为有负数，需要偏移量
#define maxn 405//这个是n的大小
using namespace std;
int n;
int s[maxn],f[maxn];
int dp[maxt];
const int INF=1e9;
int ans=-INF;
int main(){
    for(int i=0;i<=maxt;i++) dp[i]=-INF;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i]>>f[i];
    }
    dp[maxm]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(s[i]>=0){
            for(int j=maxt;j>=s[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j-s[i]]+f[i],dp[j]);
            }
        }
        else{
            for(int j=0;j<=maxt+s[i];j++){
                dp[j]=max(dp[j-s[i]]+f[i],dp[j]);
            }
        }
    }
    for(int i=maxm;i<=maxt;i++){
        if(dp[i]>=0) ans=max(ans,i+dp[i]-maxm);
    }
    cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

期末加油，7.5还要一起看青猪第二季呢！
看了樱花庄，其实相比真白更欣赏的是七海，因为太贴近现实生活了
刻画的心理确实像极了你被各种竞赛爷/开发童子功同学吊打的样子
但是这作品只能称为神作而不是神中神的原因就在于，最后没让七海赢
毕竟，你看ED歌词写得很清楚，“I'm a dreamer"
我们下一期见！
（应该没人注意到我悄咪咪换了片尾）