《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 10 章 - 第5课：磁化电感、漏感、伏秒与饱和

第5课：真实变压器——磁化电感、漏感、伏秒与饱和

对应《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 10 章：10.2.2 The Magnetizing Inductance 与 10.2.3 Leakage Inductances。
本课重点：图 10.16～图 10.18，式（10.41）～式（10.52）。
目标：从“理想变压器为什么不可能真实存在”开始，建立真实变压器的第一层等效模型，并彻底理解磁化电流、伏秒、饱和、漏磁与耦合系数。

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1. 本课学习目标

学完本课，你应该能够：

1. 解释为什么真实变压器一定需要磁化电流；
2. 理解 Magnetizing Inductance（磁化电感）\(L_M\)；
3. 从磁路方程推导 \(L_M\) 和 \(i_M\)；
4. 理解空载变压器为什么仍然有电流；
5. 从 \(v=Ldi/dt\) 推导“电压积分决定磁化电流”；
6. 从法拉第定律推导“伏秒积决定磁通密度”；
7. 分清变压器饱和与电感饱和的机制；
8. 理解为什么普通变压器开气隙不能解决伏秒过大的饱和；
9. 解释什么是 Leakage Flux（漏磁通）和 Leakage Inductance（漏感）；
10. 看懂包含 \(L_M\)、\(L_{\ell1}\)、\(L_{\ell2}\) 的真实变压器等效电路；
11. 理解互感 \(L_{12}\)、自感 \(L_{11}\)、\(L_{22}\)；
12. 理解有效匝比 \(n_e\) 和耦合系数 \(k\)；
13. 能把这些理论用于高频开关电源的初步故障分析。

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2. 从“理想变压器”走向“真实变压器”

上一课得到理想变压器的两条核心关系：

\[\frac{v_1}{n_1}=\frac{v_2}{n_2} \]

以及：

\[n_1i_1+n_2i_2=0 \]

理想模型等价于假设磁芯磁阻：

\[\mathcal{R}\rightarrow0 \]

于是建立一定磁通几乎不需要磁动势。

但真实磁芯不可能做到：

\[\mathcal{R}=0 \]

实际磁芯一定有有限磁阻：

\[\boxed{\mathcal{R}>0} \]

所以如果想在磁芯中建立磁通 \(\Phi\)，就必须提供一定的磁动势：

\[F=\Phi\mathcal{R} \]

而磁动势最终来自绕组电流。

因此得到一个非常重要的工程结论：

真实变压器即使次边完全空载，原边仍然需要吸取一部分电流来建立磁通。

这部分电流就是：

Magnetizing Current —— 磁化电流 / 励磁电流。

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3. 10.2.2 磁化电感：从原书式（10.41）开始

真实双绕组变压器的磁路关系为：

\[\boxed{\Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2} \]

同时，原边根据法拉第定律满足：

\[\boxed{v_1=n_1\frac{d\Phi}{dt}} \]

二者组成原书式（10.41）。

3.1 每个符号的含义

• \(\Phi\)：主磁通，单位 Wb；
• \(\mathcal{R}\)：磁芯磁阻；
• \(n_1\)：原边匝数；
• \(n_2\)：次边匝数；
• \(i_1\)：原边电流；
• \(i_2\)：次边电流；
• \(v_1\)：原边电压。

第一条式子回答：

“两个绕组的安匝共同产生多少磁通？”

第二条式子回答：

“磁通变化会在原边产生多少电压？”

把这两条式子连起来，就能得到磁化电感。

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4. 推导式（10.42）：把 \(\Phi\) 消去

从：

\[\Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2 \]

解出磁通：

\[\Phi=\frac{n_1i_1+n_2i_2}{\mathcal{R}} \]

把 \(n_1\) 提出来：

\[\Phi= \frac{n_1}{\mathcal{R}} \left( i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 \right) \]

再代入：

\[v_1=n_1\frac{d\Phi}{dt} \]

得到：

\[v_1= n_1 \frac{d}{dt} \left[ \frac{n_1}{\mathcal{R}} \left( i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 \right) \right] \]

如果磁阻 \(\mathcal{R}\) 在当前工作区间内近似不变：

\[\boxed{ v_1= \frac{n_1^2}{\mathcal{R}} \frac{d}{dt} \left( i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 \right) } \]

式（10.42）

这个式子看起来复杂，但它实际上已经非常接近普通电感的公式：

\[v=L\frac{di}{dt} \]

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5. 定义磁化电感 \(L_M\) 和磁化电流 \(i_M\)

原书将式（10.42）改写成：

\[\boxed{ v_1=L_M\frac{di_M}{dt} } \]

式（10.43）

并定义：

\[\boxed{ L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} } \]

以及：

\[\boxed{ i_M=i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 } \]

式（10.44）

这里：

• \(L_M\)：Magnetizing Inductance，磁化电感；
• \(i_M\)：Magnetizing Current，磁化电流；
• 下标 \(M\) 来自 Magnetizing。

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6. 为什么 \(L_M=n_1^2/\mathcal{R}\) 看起来很熟悉？

第 3 课已经学过普通电感：

\[L=\frac{n^2}{\mathcal{R}} \]

所以：

\[L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} \]

并不是一条全新的规律。

它的物理意义是：

从原边看进去，真实磁芯本身就相当于一个电感。

换句话说，如果把次边完全断开：

\[i_2=0 \]

那么式（10.44）变成：

\[i_M=i_1 \]

整个变压器就只剩：

一组绕在磁芯上的线圈。

这当然就是一个电感。

所以：

所有真实变压器都必然具有磁化电感。

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7. 原书图 10.16：加入磁化电感后的变压器模型

图 10.16：真实变压器的第一层模型。在理想变压器原边并联一个磁化电感 \(L_M\)。

这张图非常关键。

它把原边电流分成了两部分。

从图中可以看出：

\[i_1= i_M - \frac{n_2}{n_1}i_2 \]

这与：

\[i_M=i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 \]

完全一致。

可以把原边电流理解成：

原边电流 i1
   ↓
 ┌───────────────┐
 │               │
磁化电流 iM   负载反射电流
 │               │
建立磁通       给次边传输功率

这是理解真实变压器非常重要的一步。

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8. 什么叫“负载反射电流”？

当次边带负载时，会有次边电流 \(i_2\)。

理想变压器部分满足：

\[n_1i_{1,\text{load}}+n_2i_2=0 \]

因此：

\[i_{1,\text{load}} = -\frac{n_2}{n_1}i_2 \]

这部分原边电流主要用于把功率传给次边。

除此之外，原边还必须额外吸取：

\[i_M \]

用于建立磁芯中的磁通。

因此工程上可以理解为：

\[\boxed{ i_1 = i_{\text{load,reflected}} + i_M } \]

这里只是概念表达；正负号要按照实际参考方向判断。

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9. 为什么空载变压器仍然有原边电流？

把次边断开：

\[i_2=0 \]

则：

\[i_M=i_1 \]

而磁化电感满足：

\[v_1=L_M\frac{di_M}{dt} \]

所以只要原边施加交流电压，磁化电流就会发生变化。

这解释了现实中一个很常见的现象：

变压器次边什么都没接，原边电流仍然不是 0。

真实空载电流还会包含：

• 磁化电流；
• 磁芯损耗对应的有功分量；
• 寄生电容电流等。

本课先重点理解磁化电流。

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10. 从 \(v=Ldi/dt\) 推导磁化电流

磁化电感满足：

\[v_1(t)=L_M\frac{di_M(t)}{dt} \]

整理：

\[di_M(t)=\frac{v_1(t)}{L_M}dt \]

两边积分：

\[\boxed{ i_M(t)=\frac{1}{L_M}\int v_1(t)\,dt } \]

式（10.45）

为了数学上更完整，如果从某个初始时间 \(t_0\) 开始，可以写成：

\[i_M(t) = i_M(t_0) + \frac{1}{L_M} \int_{t_0}^{t}v_1(\tau)d\tau \]

这里 \(\tau\) 只是积分中使用的时间变量。

这一式子揭示了一个非常重要的关系：

磁化电流不是由瞬时电压本身决定，而是由电压随时间的累积面积决定。

也就是：

Volt-seconds —— 伏秒。

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11. 什么是“伏秒” Volt-seconds？

“伏秒”可以先从单位理解。

电压：

\[V \]

时间：

\[s \]

两者相乘：

\[V\cdot s \]

就是伏秒。

如果电压随时间变化，则不能简单写 \(Vt\)，而要积分：

\[\int v(t)dt \]

积分从几何意义上看，就是：

电压波形与时间轴之间的面积。

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12. 教学辅助图：波形面积就是伏秒

教学辅助图（非原书图）：从 \(t_1\) 到 \(t_2\) 的正电压面积就是这一段施加到绕组上的伏秒 \(\lambda_1\)。

如果这段电压是常数 \(V\)，持续时间为 \(T_{on}\)：

\[\lambda=VT_{on} \]

如果电压不是常数：

\[\lambda=\int v(t)dt \]

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13. 从伏秒直接推导磁通密度 \(B\)

前面已经学过：

\[v_1=n_1A_c\frac{dB}{dt} \]

整理：

\[dB= \frac{v_1}{n_1A_c}dt \]

两边积分：

\[\boxed{ B(t) = \frac{1}{n_1A_c} \int v_1(t)dt } \]

式（10.46）

更完整地写：

\[B(t) = B(t_0) + \frac{1}{n_1A_c} \int_{t_0}^{t}v_1(\tau)d\tau \]

这就是本课最重要的公式之一。

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14. 式（10.46）到底告诉我们什么？

\[B(t) = \frac{1}{n_1A_c} \int v_1(t)dt \]

磁通密度由三个因素决定：

1. 外加伏秒

\[\int v_1dt \]

伏秒越大，\(B\) 变化越大。

2. 匝数 \(n_1\)

\[B\propto\frac{1}{n_1} \]

匝数越多，同样伏秒产生的磁通密度变化越小。

3. 磁芯截面积 \(A_c\)

\[B\propto\frac{1}{A_c} \]

截面积越大，同样伏秒产生的磁通密度变化越小。

所以：

增加匝数或增加磁芯截面积，都能降低同样外加电压波形造成的磁通密度变化。

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15. 原书对周期电压定义的伏秒 \(\lambda_1\)

对于周期性交流电压，原书定义正电压部分的伏秒：

\[\boxed{ \lambda_1= \int_{t_1}^{t_2}v_1(t)dt } \]

式（10.47）

其中积分区间选择在周期电压波形的正向部分。

符号：

• \(\lambda\)：希腊字母 lambda，读作“兰姆达”；
• \(\lambda_1\)：原边施加的正向伏秒。

在磁学中，伏秒也和磁链变化有直接关系。

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16. 矩形脉冲下的 \(\Delta B\) 怎么算？

这是开关电源里最实用的形式。

若原边电压在一段时间内为常数：

\[v_1=V \]

持续时间：

\[T_{on} \]

则：

\[\Delta B = \frac{1}{n_1A_c} \int_0^{T_{on}}Vdt \]

由于 \(V\) 是常数：

\[\boxed{ \Delta B= \frac{VT_{on}}{n_1A_c} } \]

如果：

\[T_{on}=DT_s \]

而：

\[T_s=\frac{1}{f_s} \]

则：

\[\boxed{ \Delta B= \frac{VD}{n_1A_cf_s} } \]

这里：

• \(D\)：占空比；
• \(T_s\)：开关周期；
• \(f_s\)：开关频率。

这是连接“PWM”和“磁芯饱和”的关键公式。

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17. 变压器什么时候饱和？

磁芯有饱和磁通密度：

\[B_{sat} \]

当：

\[|B(t)| \]

达到或超过允许范围时，磁芯进入饱和。

原书指出：

变压器饱和的根本驱动因素是施加在绕组上的伏秒。

而不是简单地说：

“绕组电流大就一定饱和。”

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18. 为什么大负载电流不一定导致变压器饱和？

理想负载电流关系：

\[n_1i_1+n_2i_2=0 \]

这意味着原边负载安匝和次边负载安匝互相抵消。

如果它们完全满足上述关系：

\[i_M=0 \]

也就没有额外净磁化。

因此：

原边和次边可以同时流很大的负载电流，但只要安匝平衡，这些负载电流本身并不会形成同样大的净磁化磁场。

真正直接决定主磁通变化的是：

\[v_1(t) \]

通过：

\[B(t) = \frac{1}{n_1A_c} \int v_1dt \]

来决定。

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19. 变压器饱和后为什么很危险？

进入饱和后，磁芯的有效磁导率明显下降。

于是磁化电感：

\[L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} \]

会大幅减小。

而：

\[\frac{di_M}{dt}=\frac{v_1}{L_M} \]

所以当：

\[L_M\downarrow \]

就会导致：

\[\frac{di_M}{dt}\uparrow \]

磁化电流突然变得非常陡、非常大。

从电源看来，原边可能越来越接近：

低阻抗甚至近似短路状态。

可能导致：

• MOSFET 峰值电流暴增；
• 电流保护动作；
• 开关管损坏；
• 绕组严重发热；
• 输入保险丝熔断。

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20. 如何解决普通变压器的伏秒饱和？

从：

\[\Delta B= \frac{\lambda_1}{n_1A_c} \]

可以直接得到两种核心办法。

方法 1：增加匝数

\[n_1\uparrow \Rightarrow \Delta B\downarrow \]

方法 2：增大磁芯截面积

\[A_c\uparrow \Rightarrow \Delta B\downarrow \]

除此之外，实际变换器还可以通过降低：

• 输入电压；
• 导通时间；
• 占空比；
• 每个周期的伏秒不平衡；

来降低磁通摆幅。

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21. 为什么普通变压器“加气隙”不能解决伏秒饱和？

这是第 5 课必须彻底搞清楚的重点。

式（10.46）：

\[B(t)= \frac{1}{n_1A_c} \int v_1(t)dt \]

观察这个式子：

里面有：

• \(v_1\)；
• \(n_1\)；
• \(A_c\)。

但是没有：

\[\mathcal{R} \]

也没有气隙长度：

\[\ell_g \]

所以在同样：

• 外加电压；
• 匝数；
• 磁芯截面积；

下，简单增加气隙并不会改变由伏秒决定的 \(B(t)\)。

反而增加气隙会：

\[\mathcal{R}\uparrow \]

于是：

\[L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}}\downarrow \]

从：

\[i_M=\frac{1}{L_M}\int v_1dt \]

可知：

\[i_M\uparrow \]

因此对于普通能量传递型变压器：

为了修复伏秒导致的饱和，主要应该增加匝数或磁芯截面积，而不是靠开气隙。

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22. 这和第 3 课“电感开气隙防饱和”矛盾吗？

不矛盾。

因为两类磁件饱和的主要分析角度不同。

储能电感

主要关注：

\[ni \]

电流产生的直流安匝。

开气隙增加磁阻，可以让同样电流产生更小的 \(B\)，所以提高允许直流电流。

普通变压器

主要关注：

\[\int vdt \]

也就是伏秒。

外加电压直接决定磁通密度变化。

因此：

磁件	主要饱和驱动力
Buck / Boost 储能电感	电流、安匝
普通变压器	电压伏秒

这是一个非常重要的考试和工程区别。

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23. 一个工程例题：伏秒是否过大？

假设高频变压器原边：

• \(V=200\) V；
• \(T_{on}=5\ \mu s\)；
• \(n_1=50\) 匝；
• \(A_c=100\text{ mm}^2\)。

先把面积换成国际单位：

\[100\text{ mm}^2 = 100\times10^{-6}\text{ m}^2 = 1.0\times10^{-4}\text{ m}^2 \]

伏秒：

\[\lambda=VT_{on} \]

\[\lambda= 200\times5\times10^{-6} = 1.0\times10^{-3}\text{ V·s} \]

磁通密度变化：

\[\Delta B= \frac{\lambda}{n_1A_c} \]

\[\Delta B= \frac{1.0\times10^{-3}} {50\times1.0\times10^{-4}} \]

\[\boxed{\Delta B=0.2\text{ T}} \]

如果所用铁氧体设计允许的磁通摆幅只有约 0.2 T，那么此工作点已经需要非常谨慎。

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24. 10.2.3：什么是漏磁通 Leakage Flux？

理想变压器假设：

所有磁通都同时穿过原边和次边。

但实际情况并不是这样。

总会有一部分磁通：

• 穿过原边；
• 却没有穿过次边；

或者：

• 穿过次边；
• 却没有穿过原边。

这部分磁通叫：

Leakage Flux —— 漏磁通。

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25. 原书图 10.17：主磁通和漏磁通

图 10.17：双绕组变压器中的主磁通 \(\Phi_M\)、原边漏磁通 \(\Phi_{\ell1}\) 和次边漏磁通 \(\Phi_{\ell2}\)。

图中：

• \(\Phi_M\)：主磁通，Main / Mutual flux；
• \(\Phi_{\ell1}\)：原边漏磁通；
• \(\Phi_{\ell2}\)：次边漏磁通。

下标中的：

\[\ell \]

读作小写 ell，这里代表 leakage。

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26. 漏磁通为什么等效成“串联电感”？

想象原边有一部分磁通：

\[\Phi_{\ell1} \]

它只由原边电流产生，也只链接原边绕组。

那么从原边端口来看，它的行为就很像：

原边单独拥有的一只小电感。

因此可把它建模成：

\[L_{\ell1} \]

串联在原边。

同理，次边漏磁通对应：

\[L_{\ell2} \]

串联在次边。

这就是：

Leakage Inductance —— 漏感。

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27. 原书图 10.18：更真实的变压器等效电路

图 10.18：双绕组变压器的进一步等效模型，包含磁化电感 \(L_M\)、原边漏感 \(L_{\ell1}\) 和次边漏感 \(L_{\ell2}\)。

现在模型里已经出现三类关键部分：

理想变压器

负责：

• 匝比；
• 理想电压、电流变换；
• 功率传递。

磁化电感 \(L_M\)

负责：

• 磁芯主磁通的建立；
• 磁化电流；
• 饱和行为。

漏感 \(L_{\ell1}\)、\(L_{\ell2}\)

负责：

• 不参与完整原次边耦合的漏磁通；
• 造成额外串联压降和动态效应。

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28. 漏感会让电压比偏离理想匝比

理想情况下：

\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{n_2}{n_1} \]

但有漏感时，原边和次边端口电压中还会包含：

\[L_{\ell}\frac{di}{dt} \]

产生的压降。

因此实际端口电压比会偏离纯粹的匝数比。

也就是说：

“实际测得电压比 ≠ 理想匝数比”并不一定代表绕组匝数绕错了。

它还可能受到：

• 漏感；
• 铜阻；
• 整流压降；
• 负载；
• 开关波形；

等因素影响。

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29. 工程扩展：漏感为什么会产生尖峰？

本节是工程扩展，用于连接实际开关电源故障现象。

漏感储能也满足：

\[W_{\ell}= \frac{1}{2}L_{\ell}i^2 \]

开关关断时，电流试图快速变化。

而电感关系：

\[v=L\frac{di}{dt} \]

如果：

\[\frac{di}{dt} \]

非常大，就可能产生很高的漏感电压。

因此高频变压器漏感常导致：

• MOSFET 漏极尖峰；
• 二极管反向尖峰；
• 振铃；
• EMI；
• 器件额外开关损耗。

这就是为什么 Flyback、Forward 等拓扑经常需要：

• RCD Clamp；
• TVS；
• RC Snubber；
• Active Clamp。

这些属于后续拓扑设计内容。

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30. 式（10.48）：用矩阵描述真实双绕组变压器

原书给出一种不显式写匝数比的电气表达方式：

\[\boxed{ \begin{bmatrix} v_1(t)\\ v_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12}\\ L_{12} & L_{22} \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_1(t)\\ i_2(t) \end{bmatrix} } \]

式（10.48）

第一次看到矩阵不必紧张。

把它展开其实就是两条普通方程：

\[v_1 = L_{11}\frac{di_1}{dt} + L_{12}\frac{di_2}{dt} \]

以及：

\[v_2 = L_{12}\frac{di_1}{dt} + L_{22}\frac{di_2}{dt} \]

它想表达的是：

原边电压不仅受原边电流变化影响，也受次边电流变化影响；次边同理。

这就是“互相耦合”。

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31. Mutual Inductance —— 互感 \(L_{12}\)

原书定义：

\[\boxed{ L_{12} = \frac{n_1n_2}{\mathcal{R}} } \]

又因为：

\[L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} \]

所以：

\[\boxed{ L_{12} = \frac{n_2}{n_1}L_M } \]

式（10.49）

\(L_{12}\) 叫：

Mutual Inductance —— 互感。

简单理解：

一个绕组电流的变化，通过共同磁通，在另一个绕组中产生电压的能力。

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32. Self-inductance —— 自感 \(L_{11}\)、\(L_{22}\)

原书定义原边和次边自感为：

\[\boxed{ L_{11} = L_{\ell1} + \frac{n_1}{n_2}L_{12} } \]

\[\boxed{ L_{22} = L_{\ell2} + \frac{n_2}{n_1}L_{12} } \]

式（10.50）

其中：

• \(L_{11}\)：从原边端口看见的自感；
• \(L_{22}\)：从次边端口看见的自感；
• \(L_{\ell1}\)：原边漏感；
• \(L_{\ell2}\)：次边漏感；
• \(L_{12}\)：互感。

可以把自感理解为：

“本绕组自己的全部磁效应”，既包含共同磁通的贡献，也包含漏磁通的贡献。

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33. 什么是有效匝比 \(n_e\)？

原书利用可测电感参数定义：

\[\boxed{ n_e= \sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}} } \]

式（10.51）

这里：

• \(n_e\)：effective turns ratio，有效匝比。

注意这里的定义方向是：

\[n_e\approx\frac{n_2}{n_1} \]

当耦合很好、漏感很小时，有效匝比接近实际物理匝数比。

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34. 什么是耦合系数 \(k\)？

原书定义：

\[\boxed{ k= \frac{L_{12}} {\sqrt{L_{11}L_{22}}} } \]

式（10.52）

其中：

\[0\leq k\leq1 \]

如果 \(k=1\)

表示：

完全耦合。

也就是理想情况下没有漏磁：

\[L_{\ell1}=0 \]

\[L_{\ell2}=0 \]

如果 \(k<1\)

说明存在漏磁。

\(k\) 越接近 1，耦合越好。

原书指出，低压变压器做到：

\[k>0.99 \]

是完全可行的。

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35. 耦合系数的直觉

可以把 \(k\) 想象成：

“一个绕组建立的磁场，有多大比例真正被另一个绕组共享”。

虽然这是简化直觉，但非常有用。

k ≈ 1
↓
绝大部分磁通共同链接两绕组
↓
漏磁少
↓
漏感小
↓
耦合好

反过来：

k 降低
↓
漏磁增加
↓
漏感增加
↓
高频尖峰、振铃等问题更明显

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36. 怎么降低漏感？

本节属于工程扩展。

一般方向包括：

• 让原副边物理距离更近；
• 减少绕组之间不必要的间隔；
• 采用绕组交错 Interleaving；
• 合理安排绕组层次；
• 减少过长的引出线；
• 优化磁芯窗口内布局。

但是：

漏感不是越低越绝对好。

因为降低漏感的某些绕法可能增加：

• 原副边寄生电容；
• 共模噪声耦合；
• 绝缘设计难度。

因此真正的变压器设计是一个折中问题。

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37. 应试重点：磁化电感与漏感必须分清

对比	磁化电感 \(L_M\)	漏感 \(L_{\ell}\)
对应磁通	主磁通	漏磁通
位置	通常并联在理想变压器原边	串联在绕组
作用	建立磁芯主磁通	表示未完全耦合
电流	磁化电流 \(i_M\)	绕组电流流过
太小的后果	磁化电流大	尖峰/压降通常更小
设计目标	足够大且不饱和	通常希望较小

这是非常常见的概念题。

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38. 工程故障案例 1：空载原边电流异常大

某高频变压器次边断开，但原边电流很大。

可能原因：

1. \(L_M\) 太小；
2. 原边匝数太少；
3. 磁芯存在过大气隙；
4. 工作频率太低；
5. 外加伏秒过大；
6. 磁芯接近或进入饱和。

根据：

\[i_M= \frac{1}{L_M}\int v_1dt \]

可以直接看出：

\[L_M\downarrow \Rightarrow i_M\uparrow \]

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39. 工程故障案例 2：MOSFET 关断尖峰很高

可能链路：

变压器漏感较大
    ↓
漏感中储存能量
    ↓
MOSFET 关断
    ↓
电流被迫快速下降
    ↓
v=L·di/dt
    ↓
产生高压尖峰

因此除了检查器件耐压，还需要检查：

• 漏感；
• 绕组结构；
• 吸收/钳位电路。

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40. 工程故障案例 3：占空比稍微变大就突然炸管

可能链路：

Ton 增大
 ↓
正向伏秒 V·Ton 增大
 ↓
ΔB 增大
 ↓
磁芯接近 Bsat
 ↓
LM 大幅下降
 ↓
iM 斜率突然增大
 ↓
MOSFET 峰值电流暴涨

这类故障不能只检查“输出有没有过载”，还要检查：

\[\frac{VT_{on}}{n_1A_c} \]

是否已经把磁通推得过高。

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41. 本课公式总表

41.1 真实变压器磁路关系

\[\boxed{ \Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2 } \]

式（10.41）

41.2 磁化模型

\[\boxed{ v_1=L_M\frac{di_M}{dt} } \]

式（10.43）

\[\boxed{ L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} } \]

\[\boxed{ i_M=i_1+\frac{n_2}{n_1}i_2 } \]

式（10.44）

41.3 电压积分与磁化电流

\[\boxed{ i_M= \frac{1}{L_M} \int v_1dt } \]

式（10.45）

41.4 电压积分与磁通密度

\[\boxed{ B= \frac{1}{n_1A_c} \int v_1dt } \]

式（10.46）

41.5 伏秒

\[\boxed{ \lambda_1= \int_{t_1}^{t_2}v_1(t)dt } \]

式（10.47）

41.6 互感

\[\boxed{ L_{12} = \frac{n_1n_2}{\mathcal{R}} = \frac{n_2}{n_1}L_M } \]

式（10.49）

41.7 有效匝比

\[\boxed{ n_e= \sqrt{\frac{L_{22}}{L_{11}}} } \]

式（10.51）

41.8 耦合系数

\[\boxed{ k= \frac{L_{12}} {\sqrt{L_{11}L_{22}}} } \]

式（10.52）

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42. 本课英文术语表

英文	中文	符号/备注
Magnetizing inductance	磁化电感 / 励磁电感	\(L_M\)
Magnetizing current	磁化电流 / 励磁电流	\(i_M\)
Volt-second	伏秒	V·s
Saturation flux density	饱和磁通密度	\(B_{sat}\)
Leakage flux	漏磁通	\(\Phi_{\ell}\)
Leakage inductance	漏感	\(L_{\ell}\)
Mutual inductance	互感	\(L_{12}\)
Self-inductance	自感	\(L_{11}\)、\(L_{22}\)
Effective turns ratio	有效匝比	\(n_e\)
Coupling coefficient	耦合系数	\(k\)
Perfect coupling	完全耦合	\(k=1\)
Primary referred	折算到原边	referred to primary
Core saturation	磁芯饱和	\(B\rightarrow B_{sat}\)

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43. 基础练习题

题 1

已知：

\[n_1=100 \]

磁芯磁阻：

\[\mathcal{R}=2\times10^6 \]

求：

\[L_M \]

提示：

\[L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} \]

题 2

某原边磁化电感：

\[L_M=2\text{ mH} \]

加上恒定 100 V 电压 10 \(\mu\)s。

磁化电流增加多少？

提示：

\[\Delta i_M= \frac{V\Delta t}{L_M} \]

题 3

某变压器原边：

• 100 V；
• 10 \(\mu\)s；
• 50 匝；
• \(A_c=2\times10^{-4}\) m\(^2\)。

求这段时间的：

\[\Delta B \]

题 4

为什么给普通变压器开更大的气隙，不能降低相同电压伏秒导致的 \(\Delta B\)？

题 5

什么情况下：

\[k=1 \]

？

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44. 综合应试题

已知一理想化高频变压器：

• 原边匝数 \(n_1=80\)；
• 磁芯有效面积 \(A_c=150\) mm\(^2\)；
• 原边正向脉冲 \(V=160\) V；
• 导通时间 \(T_{on}=4\ \mu\)s。

求单个正向脉冲造成的 \(\Delta B\)。

先转换面积：

\[150\text{ mm}^2 = 1.5\times10^{-4}\text{ m}^2 \]

公式：

\[\Delta B= \frac{VT_{on}}{n_1A_c} \]

代入：

\[\Delta B= \frac{ 160\times4\times10^{-6} }{ 80\times1.5\times10^{-4} } \]

\[\boxed{ \Delta B\approx0.0533\text{ T} } \]

这说明这一个正向脉冲使磁通密度变化约 53 mT。

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45. 本课最重要的概念对照

45.1 理想变压器 vs 真实变压器

理想变压器
│
├─ LM = ∞
├─ iM = 0
├─ L漏 = 0
└─ 完全耦合

真实变压器：

真实变压器
│
├─ 有限 LM
│   └─ 产生磁化电流 iM
│
├─ 有漏感 Lℓ1、Lℓ2
│   └─ 产生压降、尖峰、振铃
│
└─ k < 1

45.2 电感饱和 vs 普通变压器饱和

储能电感
电流 i
 ↓
安匝 ni
 ↓
H、B
 ↓
饱和

普通变压器
电压 v
 ↓
伏秒 ∫vdt
 ↓
B
 ↓
饱和

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46. 本课总结

本课最关键的第一条链：

真实磁芯 ℜ ≠ 0
      ↓
建立主磁通需要 MMF
      ↓
需要磁化电流 iM
      ↓
等效成磁化电感 LM

其中：

\[\boxed{ L_M=\frac{n_1^2}{\mathcal{R}} } \]

第二条链：

原边电压 v1
     ↓
积分 ∫v1dt
     ↓
伏秒
     ↓
磁通密度 B
     ↓
Bsat
     ↓
磁芯饱和

核心公式：

\[\boxed{ B(t)= \frac{1}{n_1A_c} \int v_1(t)dt } \]

第三条链：

实际磁通不能100%耦合
      ↓
产生漏磁通
      ↓
等效为漏感 Lℓ
      ↓
端口电压偏差、尖峰、振铃

最终要记住三句话：

第一，真实变压器必须有磁化电感，也必须有磁化电流。

第二，普通变压器饱和最关键的是外加伏秒，而不是简单看负载电流大小。

第三，漏感来源于没有同时链接原副边的漏磁通，它是高频变压器尖峰和振铃的重要来源之一。