《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 10 章 - 第4课：理想变压器——匝数比、电压比、电流比与功率关系

第4课：理想变压器——匝数比、电压比、电流比与功率关系

对应《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 10 章：10.2 Transformer Modeling 与 10.2.1 The Ideal Transformer。
本课重点：图 10.13～图 10.15，式（10.34）～式（10.40）。
目标：从“两组线圈为什么能够互相传递电压和电流”开始，推导出理想变压器的电压比、电流比和功率关系，并学会处理极性与方向。

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1. 本课学习目标

学完本课，你应该能够：

1. 说清楚什么是 Transformer（变压器）；
2. 理解原边、次边、匝数、磁通、磁芯的含义；
3. 看懂双绕组变压器的磁路模型；
4. 理解为什么两个绕组的磁动势会相加或相减；
5. 从法拉第定律推导电压匝数比；
6. 从安培定律推导理想变压器的电流关系；
7. 推导理想变压器为什么不消耗功率；
8. 会计算升压、降压以及电流变换；
9. 能正确判断电压极性与电流方向；
10. 为下一课“磁化电感、漏感、伏秒与饱和”建立基础。

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2. 什么是变压器？

最简单地说：

变压器是利用共同变化的磁通，把一个绕组中的交流电压、电流和功率传递到另一个绕组，同时改变电压和电流等级的磁性器件。

它通常由：

• 磁芯 Core；
• 原边绕组 Primary winding；
• 次边绕组 Secondary winding；

组成。

注意：

变压器不是靠“导线直接连接”把能量传过去，而是通过磁场耦合。

这也是为什么变压器可以实现电气隔离。

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3. 先认识原书图 10.13：双绕组变压器

图 10.13：一个双绕组变压器。两组绕组共同绕在同一个磁芯上，并由同一个主磁通 \(\Phi\) 耦合。

图中符号：

• \(n_1\)：原边匝数；
• \(n_2\)：次边匝数；
• \(v_1(t)\)：原边电压；
• \(v_2(t)\)：次边电压；
• \(i_1(t)\)：原边电流；
• \(i_2(t)\)：次边电流；
• \(\Phi(t)\)：同时穿过两个绕组的主磁通；
• \(A_c\)：磁芯有效截面积；
• \(\ell_m\)：平均磁路长度；
• \(\mu\)：磁芯磁导率。

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3.1 Primary 和 Secondary 是什么意思？

Primary winding

中文：原边绕组、初级绕组。

通常把连接输入电源的一侧称为原边。

Secondary winding

中文：次边绕组、次级绕组。

通常把连接负载的一侧称为次边。

但需要注意：

“原边”和“次边”主要描述我们选择的输入/输出角色，并不意味着能量永远只能从原边流向次边。

在双向变换器中，能量完全可能反向流动。

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4. 为什么两个绕组可以共用同一个磁通？

在理想化分析中，认为：

原边和次边都紧密耦合在同一个磁芯上，磁芯中的总磁通 \(\Phi\) 同时穿过两个绕组。

于是原边感受到：

\[\Phi(t) \]

次边也感受到同一个：

\[\Phi(t) \]

这正是后面能推出电压匝数比的关键。

如果现实中有一部分磁通只穿过一个绕组、没有穿过另一个绕组，那么这部分就叫：

Leakage Flux —— 漏磁通。

由漏磁通产生的效应将在第 5 课讲“漏感”时详细讨论。

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5. 把真实结构变成磁路模型

原书把图 10.13 的磁芯和两个绕组转换成图 10.14 的磁路模型。

图 10.14：图 10.13 双绕组变压器的磁路模型。磁芯用磁阻 \(\mathcal{R}\) 表示，两组绕组用磁动势源 \(n_1i_1\) 与 \(n_2i_2\) 表示。

这一步非常重要，因为它把复杂的磁结构变成了我们已经熟悉的“磁路”。

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6. 磁芯磁阻 \(\mathcal{R}\)

第 3 课已经学过：

\[\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A} \]

对于图 10.13 的磁芯：

\[\boxed{\mathcal{R}=\frac{\ell_m}{\mu A_c}} \]

式（10.34）

其中：

• \(\mathcal{R}\)：磁芯磁阻；
• \(\ell_m\)：平均磁路长度，单位 m；
• \(\mu\)：磁导率，单位 H/m；
• \(A_c\)：磁芯有效截面积，单位 m\(^2\)。

这条式子告诉我们：

• 磁路越长，磁阻越大；
• 磁导率越高，磁阻越小；
• 截面积越大，磁阻越小。

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7. 为什么图 10.14 有两个“磁动势源”？

每个绕组都可以产生磁动势：

\[F=ni \]

所以：

原边产生：

\[F_1=n_1i_1 \]

次边产生：

\[F_2=n_2i_2 \]

在图 10.13 规定的电流参考方向下，\(i_1\) 和 \(i_2\) 都从磁芯窗口的相同方向穿过，因此原书写成：

\[\boxed{F_c=n_1i_1+n_2i_2} \]

式（10.35）

这里：

• \(F_c\)：作用在磁芯上的总磁动势；
• 下标 \(c\) 可以理解为 core，即磁芯。

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7.1 为什么是“加号”，不是“减号”？

这是初学者非常容易困惑的地方。

公式中的正负号取决于：

1. 绕组绕制方向；
2. 电流参考方向；
3. 我们规定的磁通正方向。

在图 10.13 的参考方向下，两组绕组的 MMF 被定义为相加，所以写：

\[n_1i_1+n_2i_2 \]

但是后面理想变压器会得到：

\[n_1i_1+n_2i_2=0 \]

这并不是说负载电流“消失”了，而是说明：

如果原边电流 \(i_1\) 按图示正方向为正，那么实际向负载供电时，次边电流相对于图示参考方向通常会取负值。

因此实际物理上的原边安匝和次边安匝是互相抵消的。

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8. 磁通与两个绕组安匝的关系

磁路版欧姆定律：

\[F_c=\Phi\mathcal{R} \]

结合式（10.35）：

\[\Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2 \]

所以：

\[\boxed{\Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2} \]

式（10.36）

进一步：

\[\Phi=\frac{n_1i_1+n_2i_2}{\mathcal{R}} \]

这就是普通双绕组磁芯中：

磁通 = 总安匝 ÷ 磁阻。

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9. 什么叫“理想变压器”？

原书 10.2.1 开始引入一个理想模型。

理想变压器假设：

1. 磁芯磁导率无限大；
2. 因而磁芯磁阻趋近于零；
3. 所有主磁通同时链接两个绕组；
4. 暂不考虑漏感；
5. 暂不考虑绕组电阻；
6. 暂不考虑磁芯损耗；
7. 暂不考虑磁化所需电流。

数学上最关键的假设是：

\[\boxed{\mathcal{R}\rightarrow0} \]

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10. 理想磁芯为什么意味着“净磁动势趋近于零”？

从：

\[F_c=\Phi\mathcal{R} \]

若保持有限磁通 \(\Phi\)，同时：

\[\mathcal{R}\rightarrow0 \]

那么：

\[F_c\rightarrow0 \]

又因为：

\[F_c=n_1i_1+n_2i_2 \]

所以得到：

\[\boxed{0=n_1i_1+n_2i_2} \]

式（10.37）

这就是理想变压器电流关系的来源。

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11. 从式（10.37）推导电流比

由：

\[n_1i_1+n_2i_2=0 \]

移项：

\[n_1i_1=-n_2i_2 \]

所以：

\[\boxed{\frac{i_1}{i_2}=-\frac{n_2}{n_1}} \]

这里的负号非常重要。

它表示：

在原书所采用的电流参考方向下，原边和次边电流符号相反。

如果只比较大小：

\[\boxed{\frac{|i_1|}{|i_2|}=\frac{n_2}{n_1}} \]

也就是说：

电流比与匝数比成反比。

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12. 为什么降压变压器会“升电流”？

假设：

\[n_1=100 \]

\[n_2=20 \]

这是一个 5:1 降压变压器。

电流大小关系：

\[\frac{|i_1|}{|i_2|}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \]

所以：

\[|i_2|=5|i_1| \]

也就是说：

电压降为 1/5 的同时，理想情况下次边可以提供约 5 倍电流。

这不是“凭空产生能量”，而是为了保持功率守恒。

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13. 用法拉第定律推导电压比

两个绕组都由同一个主磁通 \(\Phi\) 链接。

根据法拉第定律：

\[v_1=n_1\frac{d\Phi}{dt} \]

\[v_2=n_2\frac{d\Phi}{dt} \]

式（10.38）

注意两式中的：

\[\frac{d\Phi}{dt} \]

完全相同，因为两个绕组链接的是同一个主磁通。

所以：

\[\frac{v_1}{n_1}=\frac{d\Phi}{dt} \]

同时：

\[\frac{v_2}{n_2}=\frac{d\Phi}{dt} \]

于是：

\[\boxed{\frac{d\Phi}{dt}=\frac{v_1}{n_1}=\frac{v_2}{n_2}} \]

式（10.39）

因此：

\[\boxed{\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_1}{n_2}} \]

这就是最熟悉的变压器匝数比公式。

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14. 电压比公式中的每个字母

\[\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_1}{n_2} \]

• \(v_1\)：原边瞬时电压；
• \(v_2\)：次边瞬时电压；
• \(n_1\)：原边匝数；
• \(n_2\)：次边匝数。

如果讨论相同波形的 RMS 值，也可以写成：

\[\frac{V_1}{V_2}=\frac{n_1}{n_2} \]

其中大写 \(V_1\)、\(V_2\) 常用来表示有效值或某一稳态电压量，具体要看上下文。

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15. 升压和降压怎么判断？

定义匝数比：

\[a=\frac{n_1}{n_2} \]

这是工程中常见写法之一。

情况 1：\(n_1>n_2\)

从原边到次边看，是降压。

情况 2：\(n_1<n_2\)

从原边到次边看，是升压。

情况 3：\(n_1=n_2\)

理想情况下：

\[|v_1|=|v_2| \]

这就是 1:1 隔离变压器。

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16. 原书图 10.15：理想变压器符号

图 10.15：理想变压器符号。匝数比标为 \(n_1:n_2\)，电压和电流方向按照原书参考方向定义。

原书用下面两组方程定义理想变压器：

\[\boxed{\frac{v_1}{n_1}=\frac{v_2}{n_2}} \]

以及：

\[\boxed{n_1i_1+n_2i_2=0} \]

式（10.40）

这两条就是本课最重要的最终公式。

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17. 从理想变压器公式推导功率关系

本节是根据原书式（10.40）直接推导出的重要结论，用于理解理想变压器的功率守恒。

由：

\[v_1=\frac{n_1}{n_2}v_2 \]

以及：

\[i_1=-\frac{n_2}{n_1}i_2 \]

原边瞬时功率：

\[p_1=v_1i_1 \]

代入：

\[p_1= \left(\frac{n_1}{n_2}v_2\right) \left(-\frac{n_2}{n_1}i_2\right) \]

约去匝数比：

\[\boxed{p_1=-v_2i_2} \]

即：

\[\boxed{p_1+p_2=0} \]

只比较输入、输出功率大小：

\[\boxed{P_{in}=P_{out}} \]

因此理想效率：

\[\boxed{\eta=100\%} \]

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18. 为什么电压可以升高，却没有创造能量？

例如：

\[V_1=100\text{ V},\qquad I_1=2\text{ A} \]

输入功率：

\[P_{in}=200\text{ W} \]

若：

\[n_1:n_2=1:2 \]

则：

\[V_2=200\text{ V} \]

而：

\[I_2=1\text{ A} \]

所以：

\[P_{out}=200\text{ W} \]

结论：

变压器不是功率放大器，而是在电压和电流之间进行变换。

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19. 应试例题 1：降压

已知：

• \(n_1=500\) 匝；
• \(n_2=100\) 匝；
• \(V_1=220\) V。

\[V_2=V_1\frac{n_2}{n_1} \]

\[V_2=220\times\frac{100}{500} \]

\[\boxed{V_2=44\text{ V}} \]

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20. 应试例题 2：求次边电流

若上题原边电流为：

\[I_1=1\text{ A} \]

则：

\[I_2=I_1\frac{n_1}{n_2} \]

\[I_2=5\text{ A} \]

功率检查：

\[220\times1=44\times5=220\text{ W} \]

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21. 应试例题 3：反推匝数

希望：

\[24\text{ V}\rightarrow120\text{ V} \]

若：

\[n_1=40 \]

则：

\[n_2=n_1\frac{V_2}{V_1} \]

\[n_2=40\times\frac{120}{24} \]

\[\boxed{n_2=200\text{ 匝}} \]

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22. 变压器能不能直接变换恒定直流？

法拉第定律：

\[v=n\frac{d\Phi}{dt} \]

恒定磁通时：

\[\frac{d\Phi}{dt}=0 \]

所以不能持续在次边感应出电压。

开关电源采用的方法是：

DC
 ↓
高速开关
 ↓
高频脉冲电压
 ↓
高频变压器
 ↓
整流滤波
 ↓
DC

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23. 变压器为什么能实现电气隔离？

原次边没有直接导电连接，能量通过变化磁场传递。

这称为：

Galvanic Isolation —— 电气隔离。

工程上常用于：

• 人身安全；
• 高低压隔离；
• 不同地参考隔离；
• 隔离式 DC/DC 电源。

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24. 极性为什么非常重要？

只知道：

\[\left|\frac{v_1}{v_2}\right|=\frac{n_1}{n_2} \]

还不够。

还必须知道两个绕组的瞬时极性。

这由：

• 绕组方向；
• 电压参考极性；
• 电流参考方向；
• 同名端/点标记；

共同决定。

解题原则：

先定义参考方向，再写符号关系。

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25. 理想变压器到底“理想”在哪里？

真实现象	理想模型
需要磁化电流	忽略
磁芯会饱和	忽略
有磁芯损耗	忽略
绕组有铜阻	设为 0
存在漏磁	忽略
存在漏感	忽略
存在温升	忽略

所以 \(\eta=100\%\) 只是理想模型结论。

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26. 工程实践：匝数比只是第一步

例如希望：

\[400\text{ V}\rightarrow20\text{ V} \]

理想匝比：

\[\frac{n_1}{n_2}=20 \]

但不能简单选：

\[n_1=20,\qquad n_2=1 \]

因为绝对匝数还决定：

• 磁通密度；
• 饱和；
• 磁化电感；
• 铜损；
• 漏感；
• 高频绕组损耗。

核心区别：

匝数比决定电压比例；绝对匝数决定磁芯能否安全工作。

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27. 工程实践：为什么低压大电流绕组更粗？

铜损：

\[P_{cu}=I_{rms}^2R \]

降压变压器中：

\[I_2>I_1 \]

因此低压侧通常需要：

• 更粗铜线；
• 多股并联；
• 铜箔；
• 高频下使用 Litz wire 等。

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28. 应试重点公式

\[\boxed{\mathcal{R}=\frac{\ell_m}{\mu A_c}} \]

式（10.34）

\[\boxed{\Phi\mathcal{R}=n_1i_1+n_2i_2} \]

式（10.36）

\[\boxed{n_1i_1+n_2i_2=0} \]

\[\boxed{\frac{i_1}{i_2}=-\frac{n_2}{n_1}} \]

\[\boxed{\frac{v_1}{n_1}=\frac{v_2}{n_2}} \]

\[\boxed{\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_1}{n_2}} \]

\[\boxed{P_{in}=P_{out}} \]

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29. 常见错误

1. 匝数多的一侧电流也更大：错误，理想情况下电流与匝数成反比。
2. 升压等于放大功率：错误。
3. 只看匝数比，不看极性：错误。
4. 匝数比确定就等于变压器设计完成：错误。
5. 普通变压器能直接持续传递恒定 DC：错误。

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30. 本课英文术语表

英文	中文	含义
Transformer	变压器	利用磁耦合变换电压和电流
Primary winding	原边/初级绕组	通常作为输入侧
Secondary winding	次边/次级绕组	通常作为输出侧
Turns	匝数	绕组圈数
Turns ratio	匝数比	\(n_1:n_2\)
Ideal transformer	理想变压器	无损、完全耦合模型
Magnetic flux	磁通	\(\Phi\)
Reluctance	磁阻	\(\mathcal{R}\)
MMF	磁动势	Magnetomotive force
Core	磁芯	建立主磁通的磁性材料
Galvanic isolation	电气隔离	原次边无直接金属连接
Leakage flux	漏磁通	未同时链接全部绕组的磁通
Dot convention	点标记法/同名端规则	用于判断瞬时极性

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31. 基础练习题

1. \(n_1:n_2=10:1\)，原边 220 V，求次边电压。
2. \(n_1:n_2=1:5\)，原边电流 10 A，求次边电流大小。
3. 220 V / 22 V 理想变压器输出 5 A，求原边电流。
4. 为什么电压比与匝数比成正比，而电流比成反比？
5. 为什么普通变压器不能把恒定 12 V DC 直接变成恒定 120 V？

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32. 综合例题

某理想变压器：

\[n_1=200,\qquad n_2=50 \]

原边：

\[V_1=120\text{ V RMS} \]

次边负载：

\[I_2=4\text{ A RMS} \]

次边电压：

\[V_2=120\times\frac{50}{200}=30\text{ V} \]

原边电流：

\[I_1=4\times\frac{50}{200}=1\text{ A} \]

输入功率：

\[P_{in}=120\times1=120\text{ W} \]

输出功率：

\[P_{out}=30\times4=120\text{ W} \]

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33. 工程思考题

一个 400 V 直流母线的隔离 DC/DC，希望获得约 40 V 次边电压。

理想匝比约：

\[\frac{n_1}{n_2}\approx10 \]

为什么不能直接规定 \(n_1=10\)、\(n_2=1\) 就结束设计？

提示：

• 高频变压器实际承受的是开关脉冲；
• 原边绝对匝数决定 \(\Delta B\)；
• 匝数太少会饱和；
• 次边电流决定铜线截面积；
• 还要考虑磁化电感、漏感和高频铜损。

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34. 本课总结

电压关系来自共同磁通：

共同磁通 Φ
    ↓
Faraday 定律
    ↓
v1=n1·dΦ/dt
v2=n2·dΦ/dt
    ↓
电压比 = 匝数比

所以：

\[\boxed{\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_1}{n_2}} \]

电流关系来自理想磁芯的净 MMF 为零：

ℜ → 0
  ↓
Fc=Φℜ → 0
  ↓
n1i1+n2i2=0
  ↓
电流比与匝数比成反比

所以：

\[\boxed{\frac{i_1}{i_2}=-\frac{n_2}{n_1}} \]

两者结合：

\[\boxed{P_{in}=P_{out}} \]

最终记住：

理想变压器不是功率放大器。它通过共同变化的磁通，按匝数比变换电压和电流；电压升高时电流降低，电压降低时电流升高，而理想情况下功率保持不变。