《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章 - 第6课：工程例题——Two-Output Forward Coupled Inductor

第11章·第6课：工程例题——Two-Output Forward Coupled Inductor

对应《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章：11.4.1 Coupled Inductor for a Two-Output Forward Converter。
本课严格沿原书例题的参数和计算顺序展开，重点对应图 11.12 和式（11.58）～式（11.68）。
目标：把第 5 课的 Coupled Inductor 通用 \(K_g\) 流程真正落到一个完整工程案例中，从输出规格一直算到 PQ20/16 磁芯、气隙、17:7 匝数、AWG #21 / #24。

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1. 为什么这道例题非常重要？

前 5 课已经分别学过：

• 单绕组电感四大约束；
• \(K_g\) 的推导；
• 单绕组 First-Pass；
• 多绕组窗口面积分配；
• Coupled Inductor 的通用设计流程。

但是这些都还是：

方法。

11.4.1 第一次把这些方法全部串起来。

所以这一课的目标是：

给定变换器规格
       ↓
求磁化电流
       ↓
确定 LM
       ↓
求 IM,max 和 Itot
       ↓
求 Kg
       ↓
选磁芯
       ↓
算气隙
       ↓
算匝数
       ↓
窗口分配
       ↓
选 AWG

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2. 原书图 11.12：Two-Output Forward Converter

教学重绘图，对应原书图 11.12：双输出 Forward 变换器中的 Coupled Inductor，以及折算到绕组 1 的磁化模型。

原书给出的两个输出为：

Output 1

\[V_1=28V \]

\[I_1=4A \]

Output 2

\[V_2=12V \]

\[I_2=2A \]

开关频率：

\[\boxed{ f_s=200kHz } \]

占空比：

\[\boxed{ D=0.35 } \]

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3. 为什么可以把两个输出滤波电感耦合到同一磁芯？

原书说明：

这个磁件可以看成两个原本独立的 Filter Inductor 绕在同一个磁芯上。

匝数比选择为输出电压比：

\[\boxed{ \frac{n_2}{n_1} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{12}{28} } \]

原因是两个绕组共享同一个主磁通，而：

\[v_j=n_j\frac{d\Phi}{dt} \]

所以：

\[\frac{v_2}{v_1} = \frac{n_2}{n_1} \]

这使一个共同的磁化电感可以同时承担两个输出的滤波作用。

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4. 这个磁件的核心参数是什么？

本例不是分别独立设计两个电感，而是设计共同的：

\[\boxed{ L_M } \]

—— Magnetizing Inductance，磁化电感。

原书指出，\(L_M\) 用于滤除两个输出中的开关谐波，而磁化电流等于各绕组电流折算到绕组 1 后的和。

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5. 第一步：计算 DC 磁化电流 \(I_M\)

由多绕组磁化关系：

\[I_M = I_1+ \frac{n_2}{n_1}I_2 \]

代入：

\[I_M = 4+ \frac{12}{28}\times2 \]

得到：

\[\boxed{ I_M=4.86A } \]

式（11.58）

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6. 为什么不是简单的 \(4A+2A=6A\)？

因为两个绕组匝数不同。

真正决定共同磁化作用的是安匝：

\[n_1I_1+n_2I_2 \]

将绕组 2 折算到绕组 1，必须使用：

\[\frac{n_2}{n_1}I_2 \]

本例：

\[\frac{12}{28}\times2 = 0.857A \]

所以：

\[4+0.857 = 4.857A \]

约为：

\[4.86A \]

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7. 第二步：规定磁化电流纹波

原书要求：

磁化电流纹波的峰值幅度为 DC 磁化电流的 20%。

因此：

\[\boxed{ \Delta i_M=0.2I_M } \]

得到：

\[\Delta i_M = 0.2\times4.86 \]

\[\boxed{ \Delta i_M\approx0.972A } \]

这里的 \(\Delta i_M\) 是从平均值到峰值的纹波幅度。

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8. 开关周期

\[T_s= \frac1{f_s} \]

代入：

\[f_s=200kHz \]

得到：

\[\boxed{ T_s=5\mu s } \]

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9. 关于式（11.59）～式（11.60）的原文一致性说明

PDF 的解析文本中，式（11.59）显示为：

\[\Delta i_M = \frac{ V_1DT_s }{ 2L_M } \]

但紧接着式（11.60）的数值代入使用：

\[(1-D)T_s \]

也就是：

\[L_M = \frac{ V_1(1-D)T_s }{ 2\Delta i_M } \]

并得到：

\[47\mu H \]

本课保留原书实际数值计算链，不把这处 \(D\) / \((1-D)\) 的差异静默改写。

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10. 第三步：计算磁化电感 \(L_M\)

教学辅助图：从 \(I_M\)、20% 纹波目标到 \(L_M=47\mu H\)。

按照原书式（11.60）的数值代入：

\[L_M = \frac{ (28V)(1-0.35)(5\mu s) }{ 2(4.86A)(20\%) } \]

得到：

\[\boxed{ L_M=47\mu H } \]

式（11.60）

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11. 第四步：峰值磁化电流

\[I_{M,max} = I_M+\Delta i_M \]

\[= 4.86+0.972 \]

所以：

\[\boxed{ I_{M,max}=5.83A } \]

式（11.61）

这个值用于最大磁通密度和饱和设计。

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12. 第五步：求总折算 RMS 电流 \(I_{tot}\)

原书认为两个绕组的纹波都较小，因此：

\[I_1\approx4A \]

\[I_2\approx2A \]

可以把它们近似作为 RMS 电流。

于是：

\[I_{tot} = I_1+ \frac{n_2}{n_1}I_2 \]

\[= 4+ \frac{12}{28}\times2 \]

得到：

\[\boxed{ I_{tot}=4.86A } \]

式（11.62）

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13. 为什么本例里 \(I_M\) 和 \(I_{tot}\) 恰好相等？

本例：

\[I_M=4.86A \]

\[I_{tot}=4.86A \]

但它们不是同一个物理量。

• \(I_M\)：DC 磁化电流；
• \(I_{tot}\)：所有绕组 RMS 电流折算到绕组 1 后的铜负担指标。

本例因为纹波较小、波形关系简单，所以数值恰好相等。

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14. 第六步：给定磁件设计约束

原书规定：

允许总铜损：

\[\boxed{ P_{cu}=0.75W } \]

最大工作磁通密度：

\[\boxed{ B_{max}=0.25T } \]

窗口填充率：

\[\boxed{ K_u=0.4 } \]

铜电阻率采用室温值：

\[\boxed{ \rho= 1.724\times10^{-6} \ \Omega\cdot cm } \]

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15. 第七步：计算所需 \(K_g\)

使用式（11.52）：

\[K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2P_{cu}K_u } 10^8 \]

代入得到：

\[\boxed{ K_g \geq 16\times10^{-3}\ cm^5 } \]

式（11.63）

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16. 一张图看整个设计链

教学辅助图：从输出规格一直到 PQ20/16、气隙、匝数和线规。

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17. 第八步：选择 PQ20/16 磁芯

原书选择：

Ferrite PQ20/16 Core

其：

\[\boxed{ K_g = 22.4\times10^{-3}\ cm^5 } \]

而需求为：

\[16\times10^{-3}\ cm^5 \]

因此满足：

\[K_{g,core} > K_{g,required} \]

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18. PQ20/16 的原书几何参数

原书 Appendix B 参数：

\[\boxed{ A_c=0.62cm^2 } \]

\[\boxed{ W_A=0.256cm^2 } \]

\[\boxed{ MLT=4.4cm } \]

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19. 第九步：计算理想气隙

使用式（11.53）：

\[\ell_g = \frac{ \mu_0L_MI_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c } 10^4 \]

代入：

\[\ell_g = \frac{ (4\pi\times10^{-7}) (47\times10^{-6}) (5.83)^2 }{ (0.25)^2(0.62) } 10^4 \]

得到：

\[\boxed{ \ell_g=0.52mm } \]

式（11.64）

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20. 为什么原书说实际气隙应稍长？

因为式（11.64）忽略：

• Fringing Flux；
• 其他非理想因素。

Fringing 会降低实际等效磁阻，因此同样物理气隙下，实际电感可能比理想模型更大。

所以实际气隙通常需要比：

\[0.52mm \]

略长，再通过测量修正。

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21. 第十步：计算绕组 1 匝数

式（11.54）：

\[n_1 = \frac{ L_MI_{M,max} }{ B_{max}A_c } 10^4 \]

得到：

\[\boxed{ n_1=17.6 } \]

式（11.65）

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22. 第十一步：计算绕组 2 匝数

理想匝比：

\[\frac{n_2}{n_1} = \frac{12}{28} \]

所以：

\[n_2 = \frac{12}{28}(17.6) \]

得到：

\[\boxed{ n_2=7.54 } \]

式（11.66）

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23. 实际整数匝数

原书选择：

\[\boxed{ n_1=17,\quad n_2=7 } \]

并指出：

\[18:8 \]

也是另一种可能方案。

这说明 First-Pass 计算出来的连续值最终必须满足：

整数匝数约束。

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24. 第十二步：窗口分配

绕组 1：

\[\alpha_1 = \frac{ n_1I_1 }{ n_1I_{tot} } \]

代入：

\[\alpha_1 = \frac{ 17\times4 }{ 17\times4.86 } \]

得到：

\[\boxed{ \alpha_1=0.8235 } \]

绕组 2：

\[\alpha_2 = \frac{ n_2I_2 }{ n_1I_{tot} } \]

代入：

\[\alpha_2 = \frac{ 7\times2 }{ 17\times4.86 } \]

得到：

\[\boxed{ \alpha_2=0.1695 } \]

式（11.67）

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25. 为什么两个 \(\alpha\) 没有正好加到 1？

\[0.8235+0.1695=0.993 \]

原因是原书在匝数取整为 17:7 后，仍使用前面按理想匝比得到的：

\[I_{tot}=4.86A \]

作为分母。

所以出现很小的数值不一致。

本课保留原书的数值链，不重新归一化。

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26. 教学图：17:7 匝时的窗口分配

绕组 1 得到约：

\[82.35\% \]

绕组 2 得到约：

\[16.95\% \]

这体现了：

\[\alpha_j\propto n_jI_j \]

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27. 第十三步：绕组 1 允许裸铜面积

\[A_{W1} \leq \frac{ \alpha_1K_uW_A }{ n_1 } \]

代入：

\[A_{W1} \leq \frac{ (0.8235)(0.4)(0.256) }{ 17 } \]

得到：

\[\boxed{ A_{W1} \leq 4.96\times10^{-3}cm^2 } \]

式（11.68）

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28. 为什么使用 AWG #21？

原书 Appendix B：

\[A_{W,21} = 4.116\times10^{-3}cm^2 \]

它小于：

\[4.96\times10^{-3}cm^2 \]

所以：

\[\boxed{ Winding\ 1:\ AWG\ #21 } \]

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29. 绕组 2 允许裸铜面积

\[A_{W2} \leq \frac{ \alpha_2K_uW_A }{ n_2 } \]

代入得到：

\[\boxed{ A_{W2} \leq 2.48\times10^{-3}cm^2 } \]

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30. 为什么使用 AWG #24？

原书 Appendix B：

\[A_{W,24} = 2.047\times10^{-3}cm^2 \]

满足窗口上限，因此：

\[\boxed{ Winding\ 2:\ AWG\ #24 } \]

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31. 最终 First-Pass 设计结果

参数	设计结果
Output 1	28 V / 4 A
Output 2	12 V / 2 A
\(f_s\)	200 kHz
\(D\)	0.35
\(L_M\)	47 µH
\(I_{M,max}\)	5.83 A
\(I_{tot}\)	4.86 A
\(P_{cu}\)	0.75 W
\(B_{max}\)	0.25 T
\(K_u\)	0.4
Required \(K_g\)	\(16\times10^{-3}cm^5\)
Core	Ferrite PQ20/16
Core \(K_g\)	\(22.4\times10^{-3}cm^5\)
Ideal gap	0.52 mm
Turns	17 : 7
Wire	AWG #21 : AWG #24

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32. 工程理解：为什么这不是“两个电感简单合并”？

两个输出共用一个磁芯以后：

• 它们共享主磁通；
• 共同决定磁化电流；
• 共用磁化电感；
• 共用窗口面积；
• 线径必须联合优化。

所以它已经是一个：

真正的多绕组储能磁件设计问题。

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33. 工程理解：饱和和铜损为什么用不同电流？

最大磁通密度由：

\[I_{M,max} \]

决定。

总低频铜负担由：

\[I_{tot} \]

决定。

本例中二者分别为：

\[5.83A \]

和：

\[4.86A \]

这正是第 5 课理论的实际应用。

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34. 工程理解：\(K_g\) 为什么只负责“初选”？

PQ20/16 满足：

\[K_g \]

要求，只说明：

从磁芯面积、窗口和允许铜损的联合几何约束看，这个尺寸可行。

它没有自动保证：

• 高频 AC 铜损；
• 磁芯损耗；
• 温升；
• 漏感；
• 机械绕制；
• 气隙公差。

所以仍然需要样机验证。

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35. 工程理解：为什么气隙需要测量迭代？

理论值：

\[0.52mm \]

来自一维磁路近似。

实际加工后应：

加工气隙
 ↓
绕线
 ↓
测 LM
 ↓
调整 gap
 ↓
再次测量

这才是实际磁件设计闭环。

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36. 工程理解：为什么 AWG #21 / #24 不是“按电流表选线”？

它们并不是简单依据：

每平方毫米允许多少安培。

而是由：

\[A_{W,j} \leq \frac{ \alpha_jK_uW_A }{ n_j } \]

得到。

也就是说线径同时由：

• 电流；
• 匝数；
• 窗口；
• 允许铜损；

共同约束。

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37. 本课公式总表

DC 磁化电流

\[\boxed{ I_M = I_1+ \frac{n_2}{n_1}I_2 = 4.86A } \]

式（11.58）

磁化电流纹波

PDF 解析文本中的式（11.59）为：

\[\Delta i_M = \frac{ V_1DT_s }{ 2L_M } \]

而式（11.60）的数值计算使用：

\[(1-D)T_s \]

磁化电感

\[\boxed{ L_M=47\mu H } \]

式（11.60）

峰值磁化电流

\[\boxed{ I_{M,max}=5.83A } \]

式（11.61）

总折算 RMS 电流

\[\boxed{ I_{tot}=4.86A } \]

式（11.62）

所需 \(K_g\)

\[\boxed{ K_g \geq 16\times10^{-3}cm^5 } \]

式（11.63）

理想气隙

\[\boxed{ \ell_g=0.52mm } \]

式（11.64）

理论匝数

\[\boxed{ n_1=17.6 } \]

式（11.65）

\[\boxed{ n_2=7.54 } \]

式（11.66）

实际：

\[\boxed{ 17:7 } \]

窗口比例

\[\boxed{ \alpha_1=0.8235,\quad \alpha_2=0.1695 } \]

式（11.67）

导线面积

\[\boxed{ A_{W1} \leq 4.96\times10^{-3}cm^2 } \]

\[\boxed{ A_{W2} \leq 2.48\times10^{-3}cm^2 } \]

最终：

\[\boxed{ AWG\ #21,\quad AWG\ #24 } \]

式（11.68）

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38. 本课英文术语表

英文	中文
Two-Output Forward Converter	双输出 Forward 变换器
Coupled Inductor	耦合电感
Magnetizing Inductance	磁化电感
Magnetizing Current	磁化电流
Current Ripple	电流纹波
Peak Magnetizing Current	峰值磁化电流
Total Referred RMS Current	总折算 RMS 电流
Core Geometrical Constant	磁芯几何常数
Ferrite PQ Core	铁氧体 PQ 磁芯
Window Area	窗口面积
Fill Factor	填充率
Bare Copper Area	裸铜截面积
Fringing Flux	气隙边缘磁通扩散
Roundoff	取整

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39. 常见错误

错误 1：把两个输出电流直接相加

必须先按匝比折算。

错误 2：把 \(I_M\)、\(I_{M,max}\)、\(I_{tot}\) 当成同一个量

它们分别代表平均磁化、峰值磁化和 RMS 铜负担。

错误 3：认为 0.52 mm 是最终量产气隙

它只是理想磁路 First-Pass 值。

错误 4：认为 17.6 匝可以直接生产

实际必须整数匝，并重新复核。

错误 5：认为 AWG #21 / #24 是按经验电流密度直接选的

它们来自窗口面积与总铜损优化。

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40. 基础练习题

题 1

重新计算：

\[I_M = 4+ \frac{12}{28}\times2 \]

并说明匝比为什么必须出现。

题 2

如果纹波目标从 20% 改为 10%，其他条件不变，\(L_M\) 约变为多少倍？

题 3

如果 \(B_{max}\) 从 0.25 T 降为 0.20 T，其他不变，根据：

\[K_g\propto\frac1{B_{max}^2} \]

求所需 \(K_g\) 的倍率变化。

题 4

为什么匝数取整以后应重新检查磁化电感和磁通密度？

题 5

根据 Appendix B，AWG #20 的裸铜面积为：

\[5.188\times10^{-3}cm^2 \]

它为什么不满足绕组 1 的：

\[A_{W1,max} = 4.96\times10^{-3}cm^2 \]

？

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41. 工程思考题

如果样机加工出的物理气隙确实是：

\[0.52mm \]

但实测：

\[L_M \]

比 47 µH 高 15%，应首先考虑：

• Fringing；
• 实际有效磁路；
• 加工与磁芯公差。

合理流程是：

测 LM
 ↓
增大 gap
 ↓
再测 LM
 ↓
复核纹波和 Bmax

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42. 本课总结

本例把第 11 章前半部分真正串成一套完整工程流程：

28 V / 4 A
12 V / 2 A
      ↓
n2/n1 = 12/28
      ↓
IM = 4.86 A
      ↓
LM = 47 µH
      ↓
IM,max = 5.83 A
Itot = 4.86 A
      ↓
Kg ≥ 0.016 cm^5
      ↓
PQ20/16
      ↓
lg = 0.52 mm
      ↓
17 : 7 turns
      ↓
α1 / α2
      ↓
AWG #21 / #24

最后记住四句话：

第一，Coupled Inductor 的真正设计对象是共同的磁化电感 \(L_M\)，而不是两个彼此独立的滤波电感。

第二，磁芯饱和由 \(I_{M,max}\) 控制，而总低频铜损由 \(I_{tot}\) 控制。

第三，\(K_g\) 负责磁芯 First-Pass 筛选，之后仍必须继续完成气隙、整数匝数、窗口分配和线规。

第四，原书的 First-Pass 结果最终得到 PQ20/16、理想气隙 0.52 mm、17:7 匝，以及 AWG #21 / #24。

下一课进入第 11 章最后一个完整工程例题：

11.4.2 CCM Flyback Transformer + 第11章总复习。