《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章 - 第5课：Coupled Inductor 多绕组设计约束与通用 First-Pass 流程

第11章·第5课：Coupled Inductor 多绕组设计约束与通用 First-Pass 流程

对应《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章：11.3.2 Coupled Inductor Design Constraints 与 11.3.3 First-Pass Design Procedure。
本课重点对应原书图 11.11，以及式（11.43）～式（11.57）。
目标：把第 3 课的“单绕组 \(K_g\) Method”和第 4 课的“多绕组窗口最优分配”真正合并起来，得到一套可以用于 Coupled Inductor、Flyback、SEPIC 等多绕组储能磁件 的通用第一轮设计流程。

1. 第 5 课是在解决什么问题？

前面我们已经分别解决了两个问题。

单绕组问题

第 3 课学会：

L、Imax、Bmax、Pcu
        ↓
Kg
        ↓
磁芯
        ↓
匝数
        ↓
气隙
        ↓
线径

多绕组窗口问题

第 4 课学会：

\[\boxed{ \alpha_j= \frac{n_jI_j} {\sum n_mI_m} } \]

也就是：

多个绕组共享一个窗口时，应按照各绕组的 RMS 安匝 / 视在功率分配铜窗口，才能使低频总铜损最小。

现在要把两套理论合起来。

2. 什么是 Coupled Inductor？

Coupled Inductor：

耦合电感 / 多绕组耦合电感。

它和普通 Transformer 最大区别不是：

“有没有两个绕组”。

真正区别是：

磁化电感 \(L_M\) 是否承担电路所需的储能和滤波功能。

普通 Transformer 主要用于能量传递和变比。

Coupled Inductor 则本质上是：

多个绕组共同使用同一个储能磁场。

因此它通常：

具有明显磁化电流；
具有 DC 偏置；
需要气隙；
必须按储能型磁件处理。

3. 原书图 11.11：\(k\) 绕组 Coupled Inductor

教学重绘图，对应原书图 11.11：左侧为电路模型，右侧为磁路模型。

设计目标包括：

指定磁化电感：

\[L_M \]

并且是：

referred to winding 1 —— 折算到绕组 1。

指定各绕组匝比：

\[\frac{n_2}{n_1}, \frac{n_3}{n_1}, \ldots \]

最大磁化电流：

\[I_{M,max} \]

对应最大工作磁通密度：

\[B_{max} \]

总铜损：

\[P_{cu} \]

不能超过允许值。

4. 什么叫“折算到绕组 1”？

假设：

\[n_1=100 \]

\[n_2=20 \]

次边电流：

\[i_2=5A \]

那么把次边电流折算到绕组 1：

\[\frac{n_2}{n_1}i_2 = \frac{20}{100}\times5 \]

\[=1A \]

也就是说，从磁动势角度：

\[n_2i_2 \]

等效为绕组 1 中：

\[n_1\times1A \]

产生的安匝。

5. 式（11.43）：磁化电流由所有绕组共同决定

原书得到：

\[\boxed{ i_M(t) = i_1(t) + \frac{n_2}{n_1}i_2(t) + \cdots + \frac{n_k}{n_1}i_k(t) } \]

式（11.43）

也可以写成：

\[\boxed{ i_M(t) = \sum_{j=1}^{k} \frac{n_j}{n_1}i_j(t) } \]

其中：

\[\frac{n_1}{n_1}=1 \]

6. 教学图：为什么各绕组电流都要折算？

教学辅助图：所有绕组电流先按匝比折算到绕组 1，然后进行代数相加，得到磁化电流 \(i_M(t)\)。

本质来自安培定律：

\[F= \sum n_ji_j \]

如果统一除以：

\[n_1 \]

就得到：

\[i_M= \frac{F}{n_1} \]

7. 为什么式（11.43）是“代数相加”？

这里的：

\[i_j(t) \]

都有规定的参考方向。

因此某绕组实际工作时，如果电流方向与参考方向相反：

\[i_j(t)<0 \]

它自然会在式（11.43）中表现为减法。

所以不要把式（11.43）的“+”误解为：

所有绕组永远都让磁通往同一个方向增加。

真正应该看：

带符号的瞬时电流。

8. 从磁化电流进入磁路

原书对图 11.11(b) 的磁路求解得到：

\[\boxed{ n_1i_M(t) = B(t)A_c\mathcal{R}_g } \]

式（11.44）

这个式子与单绕组第 1 课的：

\[ni=BA_c\mathcal{R}_g \]

完全对应。

区别只是：

单绕组的 \(i\) 变成了多绕组共同形成的 \(i_M\)。

9. 式（11.44）的两个基本假设

原书明确采用：

\[\mathcal{R}_g\gg\mathcal{R}_c \]

也就是：

气隙磁阻远大于磁芯磁阻。

因此总磁阻主要由气隙决定。

同时本节：

忽略 Leakage Inductance —— 漏感。

所以这里只研究：

主磁通；
磁化电感；
气隙；
铜损。

10. 最大磁化电流决定最大磁通密度

定义：

\[I_{M,max} \]

为：

\[i_M(t) \]

在工作周期中的最大值。

当：

\[i_M=I_{M,max} \]

时：

\[B=B_{max} \]

由式（11.44）得到：

\[\boxed{ n_1I_{M,max} = B_{max}A_c\mathcal{R}_g = B_{max}\frac{\ell_g}{\mu_0} } \]

式（11.45）

11. 式（11.45）和单绕组公式有什么区别？

单绕组时：

\[nI_{max} = B_{max} \frac{\ell_g}{\mu_0} \]

多绕组时：

\[n_1I_{M,max} = B_{max} \frac{\ell_g}{\mu_0} \]

区别在于：

不能再随便拿某一个绕组的峰值电流判断饱和。

必须先求：

\[i_M(t) \]

再找：

\[I_{M,max} \]

12. 一个非常重要的工程例子

假设：

\[n_1=50 \]

\[n_2=25 \]

某时刻：

\[i_1=4A \]

\[i_2=-6A \]

则：

\[i_M = 4+ \frac{25}{50}(-6) \]

\[=4-3 \]

得到：

\[\boxed{ i_M=1A } \]

虽然两个绕组实际电流都不小：

\[4A,\quad6A \]

但它们的安匝大部分互相抵消。

真正磁化磁芯的只有：

\[1A \]

对应的折算磁化电流。

这就是为什么：

磁芯饱和看 \(i_M\)，铜损却必须看各绕组各自的 RMS 电流。

13. 式（11.46）：磁化电感

Coupled Inductor 的磁化电感：

\[\boxed{ L_M = \frac{n_1^2}{\mathcal{R}_g} = n_1^2 \frac{ \mu_0A_c }{ \ell_g } } \]

式（11.46）

这和单绕组：

\[L= \frac{n^2}{\mathcal{R}_g} \]

完全相同。

只不过这里统一规定：

\(L_M\) 折算到绕组 1。

14. \(L_M\) 为什么很重要？

对于 Coupled Inductor：

\[L_M \]

决定：

磁化电流纹波；
储能；
各输出纹波；
Flyback 中的峰值磁化电流；
SEPIC 中的电流动态。

所以 \(L_M\) 并不是寄生参数。

它是：

真正需要被设计出来的功能参数。

15. 现在进入铜损问题

第 4 课已经推导，最优窗口分配时：

\[P_{cu,tot,min} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \left( \sum_{j=1}^{k} n_jI_j \right)^2 \]

为了和：

\[n_1 \]

统一，原书定义：

\[I_{tot} \]

16. 式（11.48）：Total Referred RMS Current

原书定义：

\[\boxed{ I_{tot} = \sum_{j=1}^{k} \frac{n_j}{n_1}I_j } \]

式（11.48）

其中：

\(I_j\)：第 \(j\) 绕组 RMS 电流；
\(\frac{n_j}{n_1}I_j\)：把该绕组 RMS 电流折算到绕组 1；
\(I_{tot}\)：所有 RMS 绕组电流折算到绕组 1 后的和。

17. \(I_{tot}\) 和 \(i_M(t)\) 不是一回事

这是本课最容易混淆的地方。

磁化电流

\[i_M(t) = \sum \frac{n_j}{n_1} i_j(t) \]

它是：

瞬时、有符号、可以互相抵消的量。

用于求：

\[I_{M,max} \]

和：

\[B_{max} \]

\(I_{tot}\)

\[I_{tot} = \sum \frac{n_j}{n_1} I_j \]

这里：

\[I_j \]

是 RMS 大小。

它用于：

铜窗口和铜损计算。

18. 教学图：两个“电流”分别管什么？

教学辅助图：\(I_{M,max}\) 控制峰值磁化和饱和，\(I_{tot}\) 控制总铜负担；二者最终都会进入 \(K_g\)。

这是 Coupled Inductor 相比单绕组设计最重要的新概念。

19. 式（11.47）：最小总铜损改写

原书把第 4 课的结果写成：

\[\boxed{ P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)n_1^2I_{tot}^2 }{ W_AK_u } } \]

式（11.47）

为什么？

因为：

\[n_1I_{tot} = \sum_{j=1}^{k}n_jI_j \]

所以它与式（11.34）完全等价。

20. 现在有三条核心设计约束

Coupled Inductor 的 First-Pass 设计核心就是：

磁通密度

\[n_1I_{M,max} = B_{max}\frac{\ell_g}{\mu_0} \]

磁化电感

\[L_M= n_1^2 \frac{\mu_0A_c}{\ell_g} \]

总铜损

\[P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)n_1^2I_{tot}^2 }{ W_AK_u } \]

接下来和第 2 课完全一样：

消元。

21. 先从前两个公式求 \(n_1\)

将：

\[L_M= n_1^2 \frac{\mu_0A_c}{\ell_g} \]

与：

\[n_1I_{M,max} = B_{max}\frac{\ell_g}{\mu_0} \]

联立。

得到：

\[\boxed{ n_1 = \frac{ L_MI_{M,max} }{ B_{max}A_c } } \]

如果 \(A_c\) 用：

\[m^2 \]

这就是统一 SI 单位形式。

22. 再求气隙

同样得到：

\[\boxed{ \ell_g = \frac{ \mu_0L_MI_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c } } \]

与单绕组公式形式完全一致。

只需做替换：

L      → LM
Imax   → IM,max

23. 把 \(n_1\) 代入铜损

式（11.47）：

\[P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)n_1^2I_{tot}^2 }{ W_AK_u } \]

代入：

\[n_1 = \frac{ L_MI_{M,max} }{ B_{max}A_c } \]

得到：

\[\boxed{ P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c^2W_AK_u } } \]

式（11.49）

24. 把磁芯几何量移到左边

重新整理：

\[\boxed{ \frac{ A_c^2W_A }{ MLT } = \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2K_uP_{cu} } } \]

式（11.50）

左边是不是非常眼熟？

25. 又出现了同一个 \(K_g\)

因为：

\[K_g= \frac{ A_c^2W_A }{ MLT } \]

所以：

\[\boxed{ K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2K_uP_{cu} } } \]

式（11.51）

这意味着：

单绕组电感和多绕组 Coupled Inductor 最终竟然可以用同一个 \(K_g\) 几何指标来选磁芯。

26. 教学图：Coupled Inductor 的 \(K_g\) 是怎么来的？

教学辅助图：式（11.45）、（11.46）、（11.47）消去 \(n_1\) 和 \(\ell_g\) 后，再次得到 \(K_g\)。

27. 和单绕组 \(K_g\) 比较

单绕组：

\[K_g \propto \frac{ L^2I_{max}^2 }{ B_{max}^2P_{cu} } \]

Coupled Inductor：

\[K_g \propto \frac{ L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2P_{cu} } \]

这里多出了：

\[I_{tot}^2 \]

原因：

多绕组总铜损取决于所有绕组的 RMS 铜负担。

而：

\[I_{M,max} \]

只管：

峰值磁化 / 饱和。

28. 11.3.3：开始正式 First-Pass Procedure

原书规定以下输入量：

有效铜电阻率：

\[\rho \]

单位：

\[\Omega\cdot cm \]

总折算 RMS 电流：

\[I_{tot} \]

峰值磁化电流：

\[I_{M,max} \]

目标匝比：

\[n_2/n_1,\quad n_3/n_1,\ldots \]

磁化电感：

\[L_M \]

允许总铜损：

\[P_{cu} \]

填充率：

\[K_u \]

最大工作磁通密度：

\[B_{max} \]

29. 磁芯几何仍然采用 cm 单位

仍然是：

\[A_c\ (cm^2) \]

\[W_A\ (cm^2) \]

\[MLT\ (cm) \]

所以和第 3 课一样：

要使用原书公式中的单位换算因子。

30. Step 1：Determine Core Size

原书式（11.52）：

\[\boxed{ K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2P_{cu}K_u } 10^8 \quad(cm^5) } \]

式（11.52）

然后选择：

\[K_{g,core} \geq K_{g,required} \]

的标准磁芯。

同时记录：

\(A_c\)；
\(W_A\)；
MLT。

31. 铜电阻率

原书同样给出：

室温：

\[\rho = 1.724\times10^{-6} \ \Omega\cdot cm \]

100 ℃：

\[\rho = 2.3\times10^{-6} \ \Omega\cdot cm \]

实际功率磁件通常会升温。

因此 First-Pass 中使用：

预期工作温度下的有效电阻率

通常更合理。

32. Step 2：Determine Air Gap Length

原书式（11.53）：

\[\boxed{ \ell_g = \frac{ \mu_0L_MI_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c } 10^4 \quad(m) } \]

式（11.53）

这里：

\(B_{max}\)：T；
\(A_c\)：\(cm^2\)；
\(\ell_g\)：m。

33. 为什么这里是 \(10^4\)？

统一 SI 形式：

\[\ell_g = \frac{ \mu_0L_MI_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c } \]

其中：

\[A_c \]

应使用：

\[m^2 \]

但是原书让你直接输入：

\[A_c(cm^2) \]

由于：

\[1cm^2=10^{-4}m^2 \]

所以：

\[\frac{1}{A_c(m^2)} = \frac{10^4}{A_c(cm^2)} \]

因此出现：

\[10^4 \]

34. Step 3：Determine Winding 1 Turns

原书式（11.54）：

\[\boxed{ n_1 = \frac{ L_MI_{M,max} }{ B_{max}A_c } 10^4 } \]

式（11.54）

其中：

\[A_c \]

使用：

\[cm^2 \]

35. 为什么先设计 \(n_1\)？

因为整个理论都是：

referred to winding 1。

所以：

\(L_M\) 折算到绕组 1；
\(I_{M,max}\) 折算到绕组 1；
\(I_{tot}\) 也折算到绕组 1。

于是先求：

\[n_1 \]

最自然。

36. Step 4：Determine Secondary Turns

其余绕组不用重新从磁路公式计算。

直接按照指定匝比：

\[\boxed{ n_2= \left( \frac{n_2}{n_1} \right)n_1 } \]

\[\boxed{ n_3= \left( \frac{n_3}{n_1} \right)n_1 } \]

\[\vdots \]

式（11.55）

最终实际设计时：

所有匝数都必须取整数，并重新检查实际匝比。

37. Step 5：Evaluate Window Area Fractions

第 4 课已经知道：

\[\alpha_j = \frac{ n_jI_j }{ \sum n_mI_m } \]

由于：

\[n_1I_{tot} = \sum n_mI_m \]

所以原书写成：

\[\boxed{ \alpha_1 = \frac{ n_1I_1 }{ n_1I_{tot} } } \]

\[\boxed{ \alpha_2 = \frac{ n_2I_2 }{ n_1I_{tot} } } \]

\[\vdots \]

\[\boxed{ \alpha_k = \frac{ n_kI_k }{ n_1I_{tot} } } \]

式（11.56）

38. Step 6：Evaluate Wire Sizes

每一个绕组可用裸铜面积：

\[\boxed{ A_{W,1} \leq \frac{ \alpha_1K_uW_A }{ n_1 } } \]

\[\boxed{ A_{W,2} \leq \frac{ \alpha_2K_uW_A }{ n_2 } } \]

\[\vdots \]

式（11.57）

然后：

从 AWG 或公制漆包线规格中，选择裸铜面积小于或等于计算上限的标准线。

39. 教学图：窗口面积怎样落到实际线径？

教学辅助图：先用各绕组 RMS 电流得到 \(\alpha_j\)，再根据每个绕组的匝数换算成实际可用导线截面积。

40. 整套多绕组 First-Pass 流程

教学辅助图：11.3.3 的完整第一轮设计流程。

可以压缩成：

波形和规格
   ↓
求 IM,max 与 Itot
   ↓
式(11.52) 选磁芯
   ↓
式(11.53) 算气隙
   ↓
式(11.54) 算 n1
   ↓
式(11.55) 算 n2...nk
   ↓
式(11.56) 分配窗口
   ↓
式(11.57) 选各绕组线径

41. 为什么 \(I_{M,max}\) 一定要从实际波形求？

不能直接：

把几个 RMS 电流相加，然后当成峰值磁化电流。

因为：

\[I_{M,max} \]

来自：

\[i_M(t) = \sum \frac{n_j}{n_1}i_j(t) \]

必须知道：

每个绕组的时域波形；
正负方向；
导通区间。

例如 Flyback：

MOSFET ON 时主要原边有电流；
MOSFET OFF 时主要次边有电流。

所以必须先从拓扑分析得到：

\[i_M(t) \]

42. 为什么 \(I_{tot}\) 又不能用峰值代替？

因为总铜损：

\[P_{cu} \]

取决于：

\[I_j^2R_j \]

所以必须使用：

\[I_j=I_{j,rms} \]

然后：

\[I_{tot} = \sum \frac{n_j}{n_1}I_{j,rms} \]

也就是说：

饱和用 peak，铜损用 RMS。

这是功率磁件设计最重要的基本习惯之一。

43. 一个教学小例子

本例只演示 \(i_M\)、\(I_{tot}\) 的区别，不代替第 6、7 课的原书完整工程例题。

设两绕组：

\[\frac{n_2}{n_1}=0.5 \]

RMS 电流：

\[I_1=3A \]

\[I_2=4A \]

则：

\[I_{tot} = 3+0.5\times4 \]

\[\boxed{ I_{tot}=5A } \]

它描述：

铜窗口负担。

44. 但瞬时磁化电流可能完全不同

某时刻如果：

\[i_1(t)=3A \]

\[i_2(t)=-4A \]

则：

\[i_M(t) = 3+0.5(-4) \]

\[\boxed{ i_M(t)=1A } \]

所以：

\[I_{tot}=5A \]

并不意味着：

\[I_M=5A \]

两者根本不是同一个物理量。

45. 为什么 Coupled Inductor 的 \(K_g\) 看起来比单绕组更“复杂”？

单绕组只有一个电流：

它既造成磁化；
也造成铜损。

所以设计式只出现：

\[I_{max} \]

和：

\[R \]

多绕组磁件中：

峰值磁化由多个瞬时电流的安匝组合决定；
铜损由所有绕组 RMS 电流共同决定。

因此必须拆成：

\[I_{M,max} \]

和：

\[I_{tot} \]

两个不同的电流指标。

46. 为什么这套方法也适用于 Flyback？

原书明确说明：

这套 Coupled Inductor 的设计结果同样适用于 Flyback 和 SEPIC transformer。

原因是 Flyback 的磁件本质上就是：

具有多个绕组的储能电感。

它存在：

磁化电感 \(L_M\)；
明显储能；
气隙；
多绕组 RMS 铜损。

所以数学结构完全匹配。

47. 为什么也适用于 SEPIC？

SEPIC 中可以使用：

Coupled Inductor。

其两个电感绕组共享：

磁芯；
主磁通；
储能。

因此也可以：

求 \(L_M\)；
求 \(I_{M,max}\)；
求各绕组 RMS；
求 \(I_{tot}\)；
用 \(K_g\) 选磁芯。

48. 这套方法没有包含哪些损耗？

原书特别提醒：

此设计流程没有考虑 Core Loss 或 Proximity Loss。

也就是说它没有直接包含：

磁滞损耗；
磁芯涡流损耗；
Skin Effect；
Proximity Effect。

所以：

它仍然只是 First-Pass Design。

49. 什么情况下 First-Pass 结果可能误差较大？

例如：

高频很高

\[f_s=500kHz \]

甚至 MHz。

此时高频铜损可能很明显。

AC 磁通摆幅很大

比如 DCM Flyback。

磁芯损耗可能不可忽略。

多层绕组

Proximity Loss 可能使：

\[R_{ac}\gg R_{dc} \]

此时仅规定：

\[P_{cu,dc} \]

并不足够。

50. 为什么下一课非常重要？

本课建立的是：

通用公式和通用流程。

下一课 11.4.1 原书会把它用于：

Two-Output Forward Converter 的 Coupled Inductor。

届时会真正出现：

28 V / 4 A 输出；
12 V / 2 A 输出；
200 kHz；
\(D=0.35\)；
磁化电流纹波；
\(K_g\)；
实际磁芯；
17 匝 / 7 匝；
AWG #21 / #24。

也就是说：

下一课要验证本课这些抽象公式到底怎样落地。

51. 本课公式总表

磁化电流

\[\boxed{ i_M(t) = \sum_{j=1}^{k} \frac{n_j}{n_1}i_j(t) } \]

式（11.43）

磁路

\[\boxed{ n_1i_M(t) = B(t)A_c\mathcal{R}_g } \]

式（11.44）

最大磁通密度

\[\boxed{ n_1I_{M,max} = B_{max}A_c\mathcal{R}_g = B_{max}\frac{\ell_g}{\mu_0} } \]

式（11.45）

磁化电感

\[\boxed{ L_M = \frac{n_1^2}{\mathcal{R}_g} = n_1^2\frac{\mu_0A_c}{\ell_g} } \]

式（11.46）

最优总铜损

\[\boxed{ P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)n_1^2I_{tot}^2 }{ W_AK_u } } \]

式（11.47）

总折算 RMS 电流

\[\boxed{ I_{tot} = \sum_{j=1}^{k} \frac{n_j}{n_1}I_j } \]

式（11.48）

铜损消元结果

\[\boxed{ P_{cu} = \frac{ \rho(MLT)L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c^2W_AK_u } } \]

式（11.49）

几何约束

\[\boxed{ \frac{A_c^2W_A}{MLT} = \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2K_uP_{cu} } } \]

式（11.50）

\(K_g\) 要求

\[\boxed{ K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2K_uP_{cu} } } \]

式（11.51）

实际单位下选磁芯

\[\boxed{ K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2P_{cu}K_u } 10^8 } \]

式（11.52）

气隙

\[\boxed{ \ell_g = \frac{ \mu_0L_MI_{M,max}^2 }{ B_{max}^2A_c } 10^4 } \]

式（11.53）

绕组 1 匝数

\[\boxed{ n_1 = \frac{ L_MI_{M,max} }{ B_{max}A_c } 10^4 } \]

式（11.54）

其他绕组匝数

\[\boxed{ n_j = \left( \frac{n_j}{n_1} \right)n_1 } \]

式（11.55）

窗口比例

\[\boxed{ \alpha_j = \frac{ n_jI_j }{ n_1I_{tot} } } \]

式（11.56）

导线面积

\[\boxed{ A_{W,j} \leq \frac{ \alpha_jK_uW_A }{ n_j } } \]

式（11.57）

52. 本课英文术语表

英文	中文	说明
Coupled Inductor	耦合电感	多绕组储能磁件
Magnetizing Inductance	磁化电感	\(L_M\)
Magnetizing Current	磁化电流	\(i_M(t)\)
Referred to Winding 1	折算到绕组1	统一参考侧
Peak Magnetizing Current	峰值磁化电流	\(I_{M,max}\)
Total Referred RMS Current	总折算 RMS 电流	\(I_{tot}\)
Turns Ratio	匝数比	\(n_j/n_1\)
Window Fraction	窗口比例	\(\alpha_j\)
Total Copper Loss	总铜损	\(P_{cu}\)
Core Geometrical Constant	磁芯几何常数	\(K_g\)
First-Pass Design	第一轮设计	后续需复核
Leakage Inductance	漏感	本节忽略
Proximity Loss	邻近效应损耗	本流程未考虑
Core Loss	磁芯损耗	本流程未考虑

53. 常见错误

错误 1：直接把所有绕组峰值电流相加

错误。

磁化要按：

\[\frac{n_j}{n_1} \]

折算，并考虑瞬时符号。

错误 2：把 \(I_{tot}\) 当成磁化电流

错误。

\[I_{tot} \]

是 RMS 铜损指标。

\[i_M(t) \]

才是瞬时磁化指标。

错误 3：用某一个绕组的 RMS 电流检查饱和

错误。

饱和看：

\[I_{M,max} \]

错误 4：用峰值电流计算铜损

错误。

铜损看：

\[I_j^2R_j \]

其中：

\[I_j \]

是 RMS。

错误 5：多绕组线径全部按相同大小

错误。

每个绕组：

\[A_{W,j} \]

取决于：

\(\alpha_j\)；
\(n_j\)。

错误 6：\(K_g\) 满足就代表高频磁件已经完成

错误。

还没有考虑：

Core Loss；
Proximity Loss；
绝缘；
漏感；
温升。

54. 基础练习题

题 1

两绕组：

\[n_1=100 \]

\[n_2=50 \]

某时刻：

\[i_1=2A \]

\[i_2=-3A \]

求：

\[i_M \]

题 2

两绕组 RMS：

\[I_1=2A \]

\[I_2=3A \]

匝比：

\[n_2/n_1=0.5 \]

求：

\[I_{tot} \]

题 3

解释为什么题 1 的 \(i_M\) 与题 2 的 \(I_{tot}\) 即使数值偶然相等，也不能认为是同一个物理量。

题 4

若：

\[I_{M,max} \]

增加 20%，其他不变。

由式（11.52），所需 \(K_g\) 增加多少倍？

题 5

若：

\[I_{tot} \]

降低为原来的 0.8 倍，所需 \(K_g\) 变为多少？

55. 工程思考题

一个多绕组储能磁件：

\(I_{M,max}\) 很小；
但多个绕组 RMS 电流很大。

问：

它是否一定可以选很小的磁芯？

不一定。

因为：

\[K_g \propto I_{tot}^2I_{M,max}^2 \]

虽然磁化峰值较小有利于减少磁芯磁通要求，

但：

\[I_{tot} \]

很大时：

窗口仍然需要容纳大量铜。

所以多绕组磁件尺寸同时受到：

磁芯部分；
窗口铜部分；

共同约束。

56. 本课总结

Coupled Inductor 设计最关键的新思想是：

把“磁化问题”和“铜损问题”用两个不同的电流指标分开处理。

饱和问题：

\[\boxed{ I_{M,max} } \]

来自：

\[i_M(t) = \sum \frac{n_j}{n_1}i_j(t) \]

铜损问题：

\[\boxed{ I_{tot} } \]

来自：

\[I_{tot} = \sum \frac{n_j}{n_1}I_j \]

然后两者共同进入：

\[\boxed{ K_g \geq \frac{ \rho L_M^2I_{tot}^2I_{M,max}^2 }{ B_{max}^2K_uP_{cu} } } \]

最终 First-Pass 流程是：

求 IM,max
   +
求 Itot
   ↓
Kg
   ↓
选磁芯
   ↓
气隙
   ↓
n1
   ↓
n2...nk
   ↓
α1...αk
   ↓
各绕组线径

最后记住三句话：

第一，Coupled Inductor 的峰值磁通由各绕组瞬时安匝组合形成的 \(I_{M,max}\) 决定。

第二，总低频铜损由所有绕组 RMS 电流折算得到的 \(I_{tot}\) 决定。

第三，把磁化约束、磁化电感约束和窗口铜损约束联立后，仍然可以使用同一个 \(K_g\) 来完成多绕组储能磁件的 First-Pass 设计。

下一课正式进入原书完整工程实例：

11.4.1 Coupled Inductor for a Two-Output Forward Converter

我们会按照原书给出的：

28 V / 4 A；
12 V / 2 A；
200 kHz；
\(D=0.35\)；

一步一步计算到：

实际磁芯、气隙、17 匝 / 7 匝以及 AWG #21 / AWG #24。

posted on 2026-09-19 15:29 Naiva 阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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