《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章 - 第4课：多绕组磁件——窗口面积到底怎样分配，才能让总铜损最小？

第11章·第4课：多绕组磁件——窗口面积到底怎样分配，才能让总铜损最小？

对应《Fundamentals of Power Electronics, 3rd Edition》第 11 章：11.3 Multiple-Winding Magnetics Design via the \(K_g\) Method 中的 11.3.1 Window Area Allocation。
本课重点对应原书图 11.6～图 11.10，以及式（11.22）～式（11.42）。
目标：解决多绕组磁件中一个非常实际的问题——同一个磁芯只有一个有限窗口，原边、次边、辅助绕组究竟各分多少空间，才能使低频总铜损最小？

1. 为什么单绕组设计到了多绕组就不够用了？

第 1～3 课讨论的是单绕组 Filter Inductor。

只有一个绕组时：

\[K_uW_A \]

这部分可用铜窗口全部归它使用。

所以：

\[A_W\leq\frac{K_uW_A}{n} \]

就足够了。

但现在换成：

  • Transformer；
  • Coupled Inductor；
  • Flyback Transformer；
  • 多输出 Forward；

一个磁芯可能同时存在：

\[k \]

个绕组。

这些绕组必须共享同一个：

\[W_A \]

所以新的问题变成：

总窗口面积到底怎样分给每一个绕组？

2. 为什么不能简单平均分？

假设一个三绕组磁件。

最简单的想法：

Winding 1 → 1/3
Winding 2 → 1/3
Winding 3 → 1/3

但三个绕组可能完全不同：

  • 匝数不同；
  • RMS 电流不同；
  • 电压不同；
  • 需要的铜面积不同。

例如：

原边

\[n_1=100 \]

\[I_1=1\text{ A} \]

次边

\[n_2=10 \]

\[I_2=20\text{ A} \]

如果强行各分一半窗口：

很可能原边铜很多却电流很小，而次边线太细、铜损很大。

因此原书把 Window Area Allocation 当作多绕组设计的第一个核心问题。

3. 原书图 11.6：\(k\) 绕组磁件

k绕组磁件

教学重绘图，对应原书图 11.6：具有 \(k\) 个绕组的磁件，各绕组具有给定匝数和 RMS 电流。

设：

\[n_1:n_2:\cdots:n_k \]

为绕组匝数比。

各绕组 RMS 电流为：

\[I_1,\ I_2,\ldots,I_k \]

4. 多绕组电压关系

理想耦合条件下：

\[\boxed{ \frac{v_1(t)}{n_1} = \frac{v_2(t)}{n_2} = \cdots = \frac{v_k(t)}{n_k} } \]

式（11.22）

这个关系来自共同磁通：

\[v_j=n_j\frac{d\Phi}{dt} \]

所以：

所有绕组电压都与各自匝数成比例。

但是注意：

RMS 电流并不由匝数比决定。

它们是由各自负载决定的。

这正是窗口分配问题存在的原因。

5. 原书图 11.7：把窗口切成若干份

多绕组窗口面积分配

教学重绘图，对应原书图 11.7：总窗口面积 \(W_A\) 被分配给各个绕组。

定义：

\[\alpha_j \]

表示：

第 \(j\) 个绕组分到的窗口比例。

因此：

\[0<\alpha_j<1 \]

并且：

\[\boxed{ \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k=1 } \]

式（11.23）

也可以写成：

\[\boxed{ \sum_{j=1}^{k}\alpha_j=1 } \]

6. \(\alpha_j\) 到底是什么意思？

如果：

\[W_A=2\text{ cm}^2 \]

而：

\[\alpha_1=0.4 \]

那么绕组 1 得到的几何窗口区域：

\[\alpha_1W_A = 0.8\text{ cm}^2 \]

考虑窗口利用率：

\[K_u \]

真正可用于裸铜的面积：

\[\boxed{ K_u\alpha_1W_A } \]

7. 第 \(j\) 个绕组的铜损

低频近似下：

\[\boxed{ P_{cu,j}=I_j^2R_j } \]

式（11.24）

其中：

  • \(P_{cu,j}\)：第 \(j\) 绕组铜损；
  • \(I_j\)：该绕组 RMS 电流；
  • \(R_j\)：该绕组 DC 电阻。

注意：

铜损仍然必须使用 RMS 电流。

8. 第 \(j\) 个绕组电阻

原书给出：

\[\boxed{ R_j= \rho \frac{\ell_j} {A_{W,j}} } \]

式（11.25）

其中：

  • \(\rho\)：铜电阻率；
  • \(\ell_j\)：第 \(j\) 绕组总线长；
  • \(A_{W,j}\)：第 \(j\) 绕组使用导线的裸铜截面积。

9. 绕组总线长

每匝平均长度是：

\[MLT \]

第 \(j\) 绕组有：

\[n_j \]

匝。

因此：

\[\boxed{ \ell_j=n_j(MLT) } \]

式（11.26）

这和第 1 课单绕组电阻模型完全一致。

10. 第 \(j\) 个绕组最多可以使用多粗的导线？

它分到的窗口面积是：

\[\alpha_jW_A \]

乘窗口利用率：

\[K_u \]

所以允许裸铜总面积：

\[K_u\alpha_jW_A \]

有：

\[n_j \]

匝。

因此单根导线裸铜面积：

\[\boxed{ A_{W,j} = \frac{ W_AK_u\alpha_j }{ n_j } } \]

式（11.27）

这里原书是在最优使用窗口的边界上写成等号。

11. 把窗口分配代入绕组电阻

从：

\[R_j= \rho \frac{\ell_j}{A_{W,j}} \]

代入：

\[\ell_j=n_j(MLT) \]

以及：

\[A_{W,j} = \frac{W_AK_u\alpha_j}{n_j} \]

得到：

\[R_j = \rho \frac{ n_j(MLT) }{ W_AK_u\alpha_j/n_j } \]

所以：

\[\boxed{ R_j= \rho \frac{ n_j^2(MLT) }{ W_AK_u\alpha_j } } \]

式（11.28）

12. 为什么出现 \(n_j^2\)？

这非常值得理解。

匝数增加：

第一重影响

总导线长度：

\[\ell_j\propto n_j \]

第二重影响

在固定窗口分配下，每匝能使用的导线面积：

\[A_{W,j}\propto\frac1{n_j} \]

于是：

\[R_j\propto\frac{n_j}{1/n_j} \]

得到：

\[\boxed{ R_j\propto n_j^2 } \]

所以多匝绕组对窗口面积非常敏感。

13. 第 \(j\) 个绕组的铜损

代入：

\[P_{cu,j}=I_j^2R_j \]

得到：

\[\boxed{ P_{cu,j} = n_j^2I_j^2 \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u\alpha_j } } \]

式（11.29）

可以把它重新看成：

\[P_{cu,j} \propto \frac{ (n_jI_j)^2 }{ \alpha_j } \]

这已经开始暴露最优分配的答案。

14. 为什么关键量是 \(n_jI_j\)？

\[n_jI_j \]

就是：

RMS 安匝量。

它同时包含：

  • 匝数多少；
  • 电流多大。

一个绕组：

  • 匝数很多但电流小；
  • 或匝数很少但电流很大；

都可能需要很多窗口铜。

因此不能只看：

\[I_j \]

也不能只看：

\[n_j \]

而要看：

\[\boxed{ n_jI_j } \]

15. 所有绕组的总铜损

把：

\[j=1\ldots k \]

全部加起来：

\[P_{cu,tot} = P_{cu,1} + P_{cu,2} +\cdots+ P_{cu,k} \]

于是：

\[\boxed{ P_{cu,tot} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \sum_{j=1}^{k} \frac{ n_j^2I_j^2 }{ \alpha_j } } \]

式（11.30）

我们的目标就是：

在满足

\[\sum\alpha_j=1 \]

的前提下，让：

\[P_{cu,tot} \]

尽可能小。

16. 为什么 \(\alpha_1=0\) 不行？

如果：

\[\alpha_1\rightarrow0 \]

那么绕组 1 几乎没有窗口。

从：

\[R_1 \propto \frac1{\alpha_1} \]

可以看到：

\[R_1\rightarrow\infty \]

于是：

\[P_{cu,1}\rightarrow\infty \]

所以总铜损：

\[P_{cu,tot}\rightarrow\infty \]

17. 为什么 \(\alpha_1=1\) 也不行？

如果：

\[\alpha_1=1 \]

意味着：

整个窗口全部给绕组 1。

那么其他绕组：

\[\alpha_2,\alpha_3,\ldots \rightarrow0 \]

它们的铜损就趋于无穷大。

所以两端都不好。

于是：

中间一定存在一个最优分配点。

18. 原书图 11.8：总铜损为什么会出现最低点？

铜损随窗口比例变化

教学重绘图，对应原书图 11.8：把过多窗口给某一绕组，会使其他绕组损耗迅速升高；因此总铜损存在内部最小值。

这就是一个典型：

Constrained Optimization —— 有约束优化问题。

19. 原书为什么使用 Lagrange Multiplier？

英文：

Lagrange Multiplier

中文：

拉格朗日乘子法。

它用于解决：

在一个约束条件下，让某个函数取得极小值。

这里：

需要最小化：

\[P_{cu,tot} \]

但是又必须满足：

\[\sum_{j=1}^{k}\alpha_j=1 \]

所以非常适合使用拉格朗日乘子法。

20. 构造目标函数

原书定义：

\[\boxed{ f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\xi) = P_{cu,tot} + \xi g } \]

式（11.31）

其中：

\[\boxed{ g= 1- \sum_{j=1}^{k}\alpha_j } \]

式（11.32）

约束要求：

\[g=0 \]

而：

\[\xi \]

就是：

Lagrange Multiplier —— 拉格朗日乘子。

21. 初中数学水平怎样理解“偏导数”？

我们不需要先完整学习高等数学。

只需要理解：

如果一个点是最低点，那么沿着所有允许方向做一点小变化，函数都不能继续下降。

所以在最优点：

\[\frac{\partial f}{\partial\alpha_1}=0 \]

\[\frac{\partial f}{\partial\alpha_2}=0 \]

一直到：

\[\frac{\partial f}{\partial\alpha_k}=0 \]

同时：

\[\frac{\partial f}{\partial\xi}=0 \]

原书把这组条件写成式（11.33）。

22. 把总损耗写得更简单

定义常数：

\[C= \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \]

再定义：

\[a_j=n_jI_j \]

则：

\[P_{cu,tot} = C \sum_{j=1}^{k} \frac{ a_j^2 }{ \alpha_j } \]

这样数学结构变得非常清楚。

23. 对 \(\alpha_j\) 求导

对：

\[\frac{a_j^2}{\alpha_j} \]

求导：

\[\frac{d}{d\alpha_j} \left( \frac{a_j^2}{\alpha_j} \right) = -\frac{ a_j^2 }{ \alpha_j^2 } \]

所以最优条件意味着：

\[-C \frac{ a_j^2 }{ \alpha_j^2 } -\xi = 0 \]

也就是：

\[\frac{ a_j^2 }{ \alpha_j^2 } = \text{同一个常数} \]

24. 最关键的一步

因为所有绕组右边都是同一个常数：

\[\frac{a_1}{\alpha_1} = \frac{a_2}{\alpha_2} = \cdots = \frac{a_k}{\alpha_k} \]

而：

\[a_j=n_jI_j \]

于是：

\[\frac{n_1I_1}{\alpha_1} = \frac{n_2I_2}{\alpha_2} = \cdots \]

因此：

\[\alpha_j \propto n_jI_j \]

这已经得到物理答案。

25. 使用窗口总和约束求比例常数

因为：

\[\sum_{j=1}^{k}\alpha_j=1 \]

所以最终：

\[\boxed{ \alpha_m = \frac{ n_mI_m }{ \sum_{j=1}^{k}n_jI_j } } \]

式（11.35）

这就是本课最重要的公式之一。

26. 最优窗口分配是什么意思？

窗口面积应该按照：

\[n_jI_j \]

的比例来分。

例如：

\[n_1I_1:n_2I_2:n_3I_3 = 4:2:1 \]

那么：

\[\alpha_1=\frac47 \]

\[\alpha_2=\frac27 \]

\[\alpha_3=\frac17 \]

所以绝对不是平均：

\[1/3,\ 1/3,\ 1/3 \]

27. 最小总铜损

把最优：

\[\alpha_j \]

代回式（11.30），原书得到：

\[\boxed{ P_{cu,tot,min} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \left( \sum_{j=1}^{k}n_jI_j \right)^2 } \]

式（11.34）

原书还指出，在其拉格朗日函数定义下：

\[\xi = P_{cu,tot,min} \]

这是一个数学上的附带结果。

28. 一张图看懂最优窗口分配

最优窗口分配

教学辅助图：窗口面积的最优分配权重是 \(n_jI_j\)。

但是原书进一步把这个结果变成更直观的：

Apparent Power —— 视在功率。

29. 为什么 \(n_jI_j\) 可以改写成 \(V_jI_j\)？

式（11.22）告诉我们：

\[\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} = \cdots \]

所以：

\[V_j \propto n_j \]

因此：

\[n_jI_j \]

与：

\[V_jI_j \]

只相差一个所有绕组都相同的比例常数。

所以式（11.35）可改写为：

\[\boxed{ \alpha_m = \frac{ V_mI_m }{ \sum_{j=1}^{k}V_jI_j } } \]

式（11.36）

30. 什么是 Apparent Power —— 视在功率？

\[S=VI \]

其中：

  • \(V\)：RMS 电压；
  • \(I\)：RMS 电流。

单位：

\[VA \]

称为：

Volt-Ampere —— 伏安。

对于本节的窗口分配：

\[V_jI_j \]

就是第 \(j\) 个绕组的：

Apparent Power —— 视在功率。

于是得到原书最重要的工程结论：

窗口面积应按照各绕组的视在功率比例分配。

31. 为什么是视在功率，而不是有功功率？

窗口铜损由：

\[I_{rms} \]

决定。

而绕组的电压能力由：

\[n_j \]

决定。

二者组合：

\[n_jI_j \]

对应：

\[V_jI_j \]

所以分配依据不是：

\[P=VI\cos\varphi \]

而是：

\[S=VI \]

即：

视在功率。

32. 一个简单例子

三绕组磁件：

绕组 RMS 电压 RMS 电流 \(VI\)
1 100 V 1 A 100 VA
2 20 V 3 A 60 VA
3 10 V 4 A 40 VA

总视在功率权重：

\[100+60+40=200 \]

所以：

\[\alpha_1=\frac{100}{200}=0.5 \]

\[\alpha_2=\frac{60}{200}=0.3 \]

\[\alpha_3=\frac{40}{200}=0.2 \]

最优窗口分配：

50% / 30% / 20%

33. 视在功率一样就一定平均分吗？

是的，在本节低频铜损优化模型下。

例如两个绕组：

\[V_1I_1=100VA \]

\[V_2I_2=100VA \]

那么：

\[\alpha_1=\alpha_2=0.5 \]

即使：

\[V_1\neq V_2 \]

\[I_1\neq I_2 \]

只要：

\[V_1I_1=V_2I_2 \]

它们得到相同窗口比例。

34. 原书例子：PWM Full-Bridge Transformer

原书接下来用一个：

PWM Full-Bridge Transformer with Center-Tapped Secondary

作为例子。

它可以看成三绕组磁件：

  1. 原边：\(n_1\) 匝；
  2. 次边上半绕组：\(n_2\) 匝；
  3. 次边下半绕组：\(n_2\) 匝。

35. 对应原书图 11.9

PWM全桥中心抽头变压器

教学重绘图，对应原书图 11.9：一个原边 + 两个中心抽头次边半绕组，共构成三个绕组。

设负载电流为：

\[I \]

占空比：

\[D \]

36. 对应原书图 11.10：三个绕组的电流波形

PWM全桥绕组电流波形

教学重绘图，对应原书图 11.10：原边和两个次边半绕组的代表性电流波形。

真正用于窗口分配的不是峰值电流，而是：

\[I_1,\ I_2,\ I_3 \]

这些波形的 RMS 值。

37. 原边 RMS 电流

原书得到：

\[\boxed{ I_1 = \frac{n_2}{n_1} I\sqrt{D} } \]

式（11.37）

这来自 RMS 定义：

\[I_1 = \sqrt{ \frac{1}{2T_s} \int_0^{2T_s} i_1^2(t)dt } \]

38. 为什么出现 \(\sqrt D\)？

如果一个矩形电流：

  • 幅值是 \(I_p\)；
  • 导通时间比例是 \(D\)；

那么 RMS：

\[I_{rms} = I_p\sqrt D \]

因为：

\[I_{rms} = \sqrt{ DI_p^2 } \]

所以：

\[I_{rms}=I_p\sqrt D \]

39. 两个次边绕组的 RMS 电流

原书得到：

\[\boxed{ I_2=I_3 = \frac12 I\sqrt{1+D} } \]

式（11.38）

因此两个次边半绕组：

RMS 电流完全相同。

所以它们必然得到相同窗口面积：

\[\alpha_2=\alpha_3 \]

40. 代入最优窗口公式

式（11.35）：

\[\alpha_j = \frac{ n_jI_j }{ \sum n_mI_m } \]

代入式（11.37）、式（11.38），原书得到：

\[\boxed{ \alpha_1 = \frac{1}{ 1+ \sqrt{ \frac{1+D}{D} } } } \]

式（11.39）

41. 次边两个绕组的分配比例

原书得到：

\[\boxed{ \alpha_2 = \alpha_3 = \frac12 \frac{1}{ 1+ \sqrt{ \frac{D}{1+D} } } } \]

式（11.40）

注意：

\[\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1 \]

必须成立。

42. 原书取 \(D=0.75\)

代入：

\[D=0.75 \]

得到：

\[\boxed{ \alpha_1=0.396 } \]

\[\boxed{ \alpha_2=0.302 } \]

\[\boxed{ \alpha_3=0.302 } \]

式（11.41）

也就是大约：

Primary      40%
Secondary A  30%
Secondary B  30%

43. 教学图：\(D=0.75\) 时应该怎么分窗口？

D075窗口面积分配

教学辅助图：原书例子在 \(D=0.75\) 时的最优窗口比例。

它并不是：

33.3% / 33.3% / 33.3%

而是：

39.6% / 30.2% / 30.2%

因为三个绕组的视在功率并不相同。

44. 原书例子的最小总铜损

把最优窗口分配代入式（11.34），原书得到：

\[P_{cu,tot} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \left( \sum_{j=1}^{3}n_jI_j \right)^2 \]

并进一步整理为：

\[\boxed{ P_{cu,tot} = \frac{ \rho(MLT)n_2^2I^2 }{ W_AK_u } \left[ 1+2D+2\sqrt{D(1+D)} \right] } \]

式（11.42）

45. 这套窗口优化到底优化了什么？

必须非常明确：

它优化的是：

Low-Frequency Copper Loss —— 低频铜损。

它依据：

\[R=\rho\frac{\ell}{A} \]

和：

\[P=I_{rms}^2R \]

来最小化总 DCR 损耗。

它没有自动优化：

  • Skin Effect；
  • Proximity Effect；
  • Interleaving；
  • Insulation；
  • Creepage；
  • Leakage Inductance。

这些属于更进一步的高频绕组设计问题。

46. 为什么工程上不能只按 \(\alpha_j\) 切一块矩形？

数学上的：

\[\alpha_jW_A \]

表示：

窗口面积预算。

实际绕线时不一定真的把窗口像蛋糕一样切成几块。

例如可能采用：

P-S-P-S

交错结构。

此时原边物理上分成两段，但它们合计占用的铜面积仍应接近：

\[\alpha_1W_A \]

所以：

\(\alpha_j\) 是总面积预算，不是强制机械位置。

47. 窗口面积分配与 Interleaving 是两个不同问题

Window Allocation

回答：

各绕组总共应该占多少铜空间？

Interleaving

回答：

这些绕组层应该以什么次序排列？

前者主要优化：

DC copper loss。

后者主要优化：

  • Proximity loss；
  • Leakage inductance。

两个问题不能混为一谈。

48. 为什么大电流低压次边会需要很大铜面积？

低压绕组：

\[n\downarrow \]

但：

\[I\uparrow \]

窗口权重：

\[nI \]

并不一定变小。

因为理想变压器：

\[V\propto n \]

而功率：

\[S=VI \]

所以高电流低压绕组仍可能承担很大的：

\[VA \]

从而需要相当大的窗口份额。

49. 一个很典型的工程误区

工程师可能想：

“次边只有 5 匝，所以给它很小窗口就够了。”

这是错误的。

如果次边：

\[I=50A \]

那么：

\[nI \]

可能非常大。

窗口分配必须看：

\[nI \]

或：

\[VI \]

而不是只看匝数。

50. 两绕组变压器的一个特别结果

对于理想、连续传输功率的普通变压器，如果：

\[V_1I_1 = V_2I_2 \]

那么：

\[\alpha_1=\alpha_2=\frac12 \]

也就是：

原边和次边各分大约一半窗口。

这就是很多普通变压器设计中经常看到：

Primary copper area ≈ Secondary copper area

的理论来源之一。

51. 但为什么真实变压器不一定正好 50/50？

因为实际还存在：

  • 不同 RMS 波形；
  • 不同占空比；
  • 辅助绕组；
  • 整流方式；
  • 电流波形非正弦；
  • 高频 AC 电阻；
  • 不同绝缘厚度。

所以：

50/50 只是某些理想两绕组情况下的结果。

52. 本课公式总表

理想绕组电压关系

\[\boxed{ \frac{v_1}{n_1} = \frac{v_2}{n_2} = \cdots = \frac{v_k}{n_k} } \]

式（11.22）

窗口比例约束

\[\boxed{ \sum_{j=1}^{k}\alpha_j=1 } \]

式（11.23）

绕组铜损

\[\boxed{ P_{cu,j}=I_j^2R_j } \]

式（11.24）

绕组电阻

\[\boxed{ R_j= \rho\frac{\ell_j}{A_{W,j}} } \]

式（11.25）

绕组线长

\[\boxed{ \ell_j=n_j(MLT) } \]

式（11.26）

线面积

\[\boxed{ A_{W,j} = \frac{ W_AK_u\alpha_j }{ n_j } } \]

式（11.27）

电阻与分配比例

\[\boxed{ R_j= \rho \frac{ n_j^2(MLT) }{ W_AK_u\alpha_j } } \]

式（11.28）

单绕组损耗

\[\boxed{ P_{cu,j} = n_j^2I_j^2 \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u\alpha_j } } \]

式（11.29）

总铜损

\[\boxed{ P_{cu,tot} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \sum_{j=1}^{k} \frac{ n_j^2I_j^2 }{ \alpha_j } } \]

式（11.30）

最小总铜损

\[\boxed{ P_{cu,tot,min} = \frac{ \rho(MLT) }{ W_AK_u } \left( \sum_{j=1}^{k} n_jI_j \right)^2 } \]

式（11.34）

最优窗口比例

\[\boxed{ \alpha_m = \frac{ n_mI_m }{ \sum_{j=1}^{k}n_jI_j } } \]

式（11.35）

视在功率形式

\[\boxed{ \alpha_m = \frac{ V_mI_m }{ \sum_{j=1}^{k}V_jI_j } } \]

式（11.36）

53. 本课英文术语表

英文 中文 说明
Multiple-Winding Magnetics 多绕组磁件 多个绕组共享磁芯
Window Area Allocation 窗口面积分配 11.3.1 核心问题
Winding Fraction 绕组窗口比例 \(\alpha_j\)
RMS Current 有效值电流 \(I_j\)
Copper Loss 铜损 \(P_{cu}\)
Apparent Power 视在功率 \(VI\)，单位 VA
Lagrange Multiplier 拉格朗日乘子 \(\xi\)
Constraint 约束条件 \(\sum\alpha_j=1\)
Optimization 优化 使总铜损最小
Center-Tapped Secondary 中心抽头次边 全桥例子
Window Utilization Factor 窗口利用率 \(K_u\)
Mean Length Per Turn 平均每匝线长 MLT

54. 常见错误

错误 1：多绕组窗口平均分最好

错误。

最优：

\[\alpha_j\propto n_jI_j \]

错误 2：只按电流大小分窗口

错误。

必须同时考虑：

\[n_j \]

错误 3：只按匝数分窗口

同样错误。

必须看：

\[n_jI_j \]

错误 4：按输出有功功率分配

本节公式对应：

\[V_{rms}I_{rms} \]

即：

Apparent Power。

错误 5：\(\alpha_j\) 决定物理层顺序

不是。

它只决定：

总窗口预算。

错误 6：低频铜损最优就等于高频总损耗最优

错误。

高频还要考虑：

  • Skin Effect；
  • Proximity Effect；
  • winding arrangement。

55. 基础练习题

题 1

三绕组：

\[n_1I_1:n_2I_2:n_3I_3 = 2:3:5 \]

求：

\[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \]

题 2

两个绕组：

\[V_1=400V,\ I_1=1A \]

\[V_2=40V,\ I_2=10A \]

按式（11.36）求窗口比例。

题 3

某绕组窗口比例：

\[\alpha_j \]

减半。

其他条件不变时，根据式（11.29），该绕组低频铜损变化多少倍？

题 4

为什么：

\[\alpha_j\rightarrow0 \]

时：

\[P_{cu,j}\rightarrow\infty \]

？

题 5

为什么视在功率相同的两个理想绕组会获得相同窗口比例？

56. 工程练习题

某隔离电源有三个绕组：

绕组 RMS 电压 RMS 电流
Primary 300 V 1 A
Secondary 1 24 V 8 A
Auxiliary 15 V 0.4 A

计算视在功率：

\[S_1=300VA \]

\[S_2=192VA \]

\[S_3=6VA \]

总和：

\[S_{tot}=498VA \]

所以：

\[\alpha_1= \frac{300}{498} \approx0.602 \]

\[\alpha_2= \frac{192}{498} \approx0.386 \]

\[\alpha_3= \frac6{498} \approx0.012 \]

可以看到：

辅助绕组虽然必须存在，但从低频铜损最优角度，它只需要很小的铜窗口预算。

实际还必须考虑：

  • 最小可制造线径；
  • 绝缘；
  • 层结构。

57. 本课总结

多绕组磁件的窗口分配，本质是一个：

有限资源分配问题。

总窗口：

\[W_A \]

固定。

每一个绕组都想获得更多面积，因为：

\[\alpha_j\uparrow \Rightarrow A_{W,j}\uparrow \Rightarrow R_j\downarrow \Rightarrow P_{cu,j}\downarrow \]

但是：

\[\sum\alpha_j=1 \]

所以不可能所有绕组都变大。

通过最优化，原书得到：

\[\boxed{ \alpha_j = \frac{ n_jI_j }{ \sum n_mI_m } } \]

又因为：

\[V_j\propto n_j \]

所以：

\[\boxed{ \alpha_j = \frac{ V_jI_j }{ \sum V_mI_m } } \]

最后记住三句话：

第一，多绕组窗口不能机械平均分配，最优面积比例取决于各绕组的匝数与 RMS 电流。

第二，在理想耦合条件下，这个结果等价于“按照各绕组的视在功率 VA 比例分配窗口面积”。

第三，这个优化只保证低频 DCR 铜损最小；实际高频磁件还必须结合 Skin Effect、Proximity Effect、Interleaving 和绝缘结构进一步优化。

下一课进入：

11.3.2～11.3.3 Coupled Inductor Design Constraints + First-Pass Design Procedure

也就是把本课的窗口最优分配真正合并进 \(K_g\) 方法，完成：

  • 多绕组 Coupled Inductor；
  • Flyback；
  • SEPIC 磁件；

的通用第一轮设计流程。

posted on 2026-09-19 15:21  Naiva  阅读(3)  评论(0)    收藏  举报

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