51nod 最长的循环节（对循环小数位的理解+快速幂+欧拉筛）

最长的循环节

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http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1035

题目：

正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。

1/6= 0.1(6) 循环节长度为1
1/7= 0.(142857) 循环节长度为6
1/9= 0.(1) 循环节长度为1

Input：

输入n（10≤n≤1000)$n（10\le n\le 1000)$

Output:

输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

sample:

input:

10

Output:

7

题解：

这题涉及一个神奇的数学证明，接下来我们证明看看：
首先我们用一个假设一个循环小数看看。
k=ba=0.0......s位(c1c2...cr)r位$k=\frac{b}{a}=0.0\underset{s位}{\underbrace{......}}\underset{r位}{\underbrace{(c_1{c}_2...c_r)}}$
可以看到k$k$是一位循环位数为r$r$的循环小数，现在我们把小数点右r$r$位。由于k$k$是r$r$位循环小数，所以小数部分只有前s位改变。当我们把这个数的小数部分与k$k$的小数部分相减后，小数部分就只剩最多s位了。这是的数可以表示成
k1=(10r−1)∗(b/a)$k_1=({10}^r-1)\ast (b/a)$
我们再右移s$s$位，这时候就变成了
k2=10s∗(10r−1)∗(b/a)$k_2={10}^s\ast ({10}^r-1)\ast (b/a)$
因为b$b$与a$a$互质，10$10$与a$a$互质，所以要k2$k_2$为整数只有(10r−1)moda=0$({10}^r-1)moda=0$.因此有
10r≡1(moda)${10}^r\equiv 1(moda)$
得出这个公式之后，我们只要每一个数如果它和10互质，就找出最小的满足公式的r$r$即可(说白了就是求10关于模a的阶)，不过值得注意的是，根据欧拉定理10Φ(a)≡1(moda)${10}^{\mathrm{\Phi }(a)}\equiv 1(moda)$，r一定是Φ(a)$\mathrm{\Phi }(a)$的因子，这样就更容易求了。
实在看不懂可以看下这个：
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25311.pdf

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
int phi[maxn];
void Phi()//欧拉筛
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
            {
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
//      cout<<i<<" "<<phi[i]<<endl;
    }
}
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int qpow(int a,int b,int mod)//快速幂
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T,n,i,j,k,temp,ans;
    Phi();
    long long sum;
    cin>>n;
    int _max=-1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        temp=gcd(i,10);
        if(temp!=1)
            continue;
        for(j=1;j<=phi[i];j++)
        {
            if(phi[i]%j==0&&qpow(10,j,i)==1)
            {
                if(j>_max)
                {
                    _max=j;
                    ans=i;
                }
//              cout<<i<<" "<<j<<endl;
                break;
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}