【BZOJ4591】超能粒子炮·改（Lucas定理，组合计数）

题意：

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

n,k<=10^18

cas<=10^5

 

思路：WYZ作业

应该是一道在草稿纸上就能完成大半部分的题

设S(n,k)=Σ C(n,i) i=0..k

先运用Lucas定理将C(n,m)表示为C(n div mo,m div mo)*C(n mod mo,m mod mo)

将其一项一项写出我们可以发现，i=0..p-1可以分成一组，p..2p-1可以分成一组……一共可以分成k div mo-1组，每一组都有一些重复的部分

这些整组的和整理后为S(n div mo,k div mo-1)*S(n mod mo,mo-1)

还有最后若干无法凑成整组的项，可以发现他们的系数都是C(n div mo,k div mo)

这些项的和为C(n div mo,k div mo)*S(n mod mo,k mod mo)

两部分加起来就是S(n,k)

const mo=2333;
var s,c:array[0..mo,0..mo]of int64;
    cas,i,j,v:longint;
    n,k:int64;

function ask(n,k:int64):int64;
var a,b:int64;
begin
 if (n<k)or(k<0) then exit(0);
 if n<mo then exit(c[n,k]);
 a:=n div mo; b:=k div mo;
 exit(ask(a,b)*c[n mod mo,k mod mo] mod mo);
end;

function clac(n,k:int64):int64;
var a,b:int64;
begin
 if k<0 then exit(0);
 a:=n div mo; b:=k div mo;
 exit((clac(a,b-1)*s[n mod mo,mo-1]
       +ask(a,b)*s[n mod mo,k mod mo]) mod mo);
end;

begin
 assign(input,'bzoj4591.in'); reset(input);
 assign(output,'bzoj4591.out'); rewrite(output);
 c[0,0]:=1;
 c[1,0]:=1; c[1,1]:=1;
 for i:=2 to mo do
 begin
  c[i,0]:=1;
  for j:=1 to i do c[i,j]:=(c[i-1,j-1]+c[i-1,j]) mod mo;
 end;
 for i:=0 to mo-1 do
 begin
  s[i,0]:=1;
  for j:=1 to mo-1 do s[i,j]:=(s[i,j-1]+c[i,j]) mod mo;
 end;
 read(cas);
 for v:=1 to cas do
 begin
  read(n,k);
  writeln(clac(n,k));
 end;        
 close(input);
 close(output);
end.