【POJ2104】K-th Number（主席树）

题意：有n个数组成的序列，要求维护数据结构支持在线的下列两种操作：

1：单点修改，将第x个数修改成y

2：区间查询，询问从第x个数到第y个之间第K大的数

n<=100000，a[i]<=10^9

思路：一年前写过的第一道主席树，现在有了更深的理解

最朴素的想法是设t[i,j]为i时刻[1..j]的个数之和

询问时区间(x,y)时只需取出t[y]-t[x-1]这棵线段树，在其中二分查找即可

那么问题来了：这样的写法空间复杂度是O(n2)级别的，且每次更改只有logn个点会被更改

有很多一模一样的线段树中的节点是重复的，如何利用它们

充分利用历史版本，使用类似链表的方法将它们链接

比如只有左儿子被修改的节点就只新开左儿子，右儿子链到上一个时刻的右儿子即可

单点修改的时间和空间复杂度都是O(NlogN)

var t:array[0..2000000]of record
                           l,r,s:longint;
                          end;
    a,b,c,d,root:array[0..210000]of longint;
    n,m,i,x,y,k,cnt:longint;

procedure swap(var x,y:longint);
var t:longint;
begin
 t:=x; x:=y; y:=t;
end;

procedure qsort(l,r:longint);
var i,j,mid:longint;
begin
 i:=l; j:=r; mid:=a[(l+r)>>1];
 repeat
  while mid>a[i] do inc(i);
  while mid<a[j] do dec(j);
  if i<=j then
  begin
   swap(a[i],a[j]);
   swap(c[i],c[j]);
   inc(i); dec(j);
  end;
 until i>j;
 if l<j then qsort(l,j);
 if i<r then qsort(i,r);
end;

procedure update(l,r:longint;var p:longint;x:longint);
var mid:longint;
begin
 inc(cnt);
 t[cnt]:=t[p];
 p:=cnt;
 inc(t[p].s);
 if l=r then exit;
 mid:=(l+r)>>1;
 if x<=mid then update(l,mid,t[p].l,x)
  else update(mid+1,r,t[p].r,x);
end;

function query(p1,p2,l,r,k:longint):longint;
var mid,tmp:longint;
begin
 if l=r then exit(l);
 tmp:=t[t[p2].l].s-t[t[p1].l].s;
 mid:=(l+r)>>1;
 if tmp>=k then exit(query(t[p1].l,t[p2].l,l,mid,k))
  else exit(query(t[p1].r,t[p2].r,mid+1,r,k-tmp));
end;

begin
 assign(input,'poj2104.in'); reset(input);
 assign(output,'poj2104.out'); rewrite(output);
 readln(n,m);
 for i:=1 to n do
 begin
  read(a[i]); b[i]:=a[i]; c[i]:=i;
 end;
 qsort(1,n);
 d[c[1]]:=1;
 for i:=2 to n do
  if a[i]<>a[i-1] then d[c[i]]:=d[c[i-1]]+1
   else d[c[i]]:=d[c[i-1]];
 for i:=1 to n do
 begin
  root[i]:=root[i-1];
  update(1,n,root[i],d[i]);
 end;
 for i:=1 to m do
 begin
  readln(x,y,k);
  writeln(a[query(root[x-1],root[y],1,n,k)]);
 end;
 close(input);
 close(output);
end.

 UPD（2018.9.19）：C++

//无修改区间第K小值
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define fi first
#define se second 
#define MP make_pair
#define N   210000
#define MOD 1000000007
#define eps 1e-8 
#define pi acos(-1)
#define oo 1e9

struct arr
{
    int l,r,s;
}t[2100000];
int a[N],b[N],c[N],root[N],cnt,n;


int read()
{ 
   int v=0,f=1;
   char c=getchar();
   while(c<48||57<c) {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
   while(48<=c&&c<=57) v=(v<<3)+v+v+c-48,c=getchar();
   return v*f;
}

int Discrete(int x)
{
    int l=1;
    int r=n;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(b[mid]==x) return c[mid];
        if(b[mid]<x) l=mid+1;
         else r=mid-1;
    }
}

void update(int l,int r,int x,int &p)
{
    t[++cnt].l=t[p].l;
    t[cnt].r=t[p].r;
    t[cnt].s=t[p].s;
    p=cnt;
    t[p].s++;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) update(l,mid,x,t[p].l);
     else update(mid+1,r,x,t[p].r);
} 
    
int query(int p1,int p2,int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int tmp=t[t[p2].l].s-t[t[p1].l].s;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(tmp>=k) return query(t[p1].l,t[p2].l,l,mid,k); 
     else return query(t[p1].r,t[p2].r,mid+1,r,k-tmp);
}

int main()
{
    //freopen("poj2104.in","r",stdin);
    //freopen("poj2104.out","w",stdout);
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    c[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        c[i]=c[i-1];
        if(b[i]!=b[i-1]) c[i]++;
    }        
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Discrete(a[i]); //离散化
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        root[i]=root[i-1];
        update(1,n,a[i],root[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,k;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        int ans=b[query(root[x-1],root[y],1,n,k)];
        printf("%d\n",ans);
    }
    
    return 0;
}