线性代数的引入

线性代数这门课程主要是理解空间上的变化，当然这个空间是被映射成数组形式了（空间也叫向量空间）。

• 向量空间是线性变换发生的“舞台”。

• 线性变换是线性代数的核心概念和灵魂。 它提供了理解空间如何被操作、映射的根本视角。

  • 矩阵是描述和计算线性变换（以及在特定坐标系下描述向量）的核心工具。
  • 特征值/特征向量、对角化等是深入分析线性变换内在结构的关键工具。

• 求解线性方程组是线性变换理论的重要应用。

线性变化

线性变换 = 对空间的操作

想象一下，你有一张画满点的网格纸（代表整个空间）。线性变换就是对这张纸进行某种规则的“操作”，比如：

• 拉伸/压缩： 把纸水平方向拉长2倍，垂直方向压缩到一半。
• 旋转： 把整张纸绕着原点（比如纸的中心点）旋转30度。
• 剪切： 想象纸的上半部分向右推，下半部分保持不动，整张纸被“推斜”了。
• 镜像： 把纸像照镜子一样翻折一下。

对空间的操作，是用一个数组（矩阵）去与另一个数组（向量）进行计算，得到一个新的数组（新向量）.

• 矩阵 是线性变换的“操作指令书，
• 向量 是空间中的一个点或方向，
• 矩阵×向量 就是施加变换的过程，
• 结果 是变换后的新点/方向。

这种计算不是简单的“数组与数相乘”，而是遵循特定规则的 矩阵乘法，其核心思想是 重新组合基向量。

这也是计算机图形学、物理仿真、机器学习中处理旋转、缩放、投影等操作的基础！