计算原理——元素重复选择性

目录

• 排列和组合的共性
• 问题分析过程
• 案例——计算比赛前三名有几种排法？
• Tool

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计数类问题可以分排列 或 组合 类型，区别在于他们的摆放的位置是不是重要的，组合类问题里，摆放位置是不重要的，ab和ba是一样的。

组合只关心元素是不是包含在其中。

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排列和组合的共性

他们的共性就是，看每个位置里是不是能重复取已经取过的元素。

可重复的组合案例——配药
假设有个酮仁堂做的补药非常受市场欢迎，他公布他用了5种材料（'人参', '萝卜', 鹿茸', '熊掌'，'猪鞭'）做一份补药。

你想模仿，但是配方不告诉你，你偷偷打听到，其实只需要其中3种材料，3种材料可能还会重复材料，那么你知道你需要尝试多少次，才能试出补药配方吗？

补药摆放位置不影响结果，比如说 煮('人参', '鹿茸', '鹿茸') 或者 煮('鹿茸', '人参', '鹿茸') 出来的补药都是一样的。

套公式 H(m，n) = H(5,3) = 35

可重复排列案例——重复排列锁

上图是一个重复排列锁，设定的密码是924，那么你用429、942、249都不能打开它。

这体现了在这个场景里，元素所处于的位置很重要，元素改变了位置就不是同一个了。

除了元素摆放的位置很重要，还有一个特点，每个位置的元素可以重复取同样的，比如你可以设密码是924，也可以是994，甚至是999。

求这个锁有几种排法？
重复排列数的求总次数，就是求M自乘N次，P(10,3) = 1000
m=10 (因为0-9 ，有10种)

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问题分析过程

0. 首先确定这个排列方式是否具有顺序 ？

1. 要求顺序

   • 位置里的元素能重复吗？
     • 1.1 重复排列
       • 公式：$ P(n,m) = n^m $ (n 是被选择的总个数，而我们要选 m 次)
     • 1.2 不重复排列
       • 公式：$ P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} $

2. 不要求顺序

   • 位置里的元素能重复吗？？

     • 2.1 重复组合

       • 公式：$ H(n,r) = C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r! (n - 1)!} $

     • 2.2 不重复组合

       • 公式：$ C(n, m) = \frac{ n! } {(m! * (n-m)!)} $

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案例——计算比赛前三名有几种排法？

有一场比赛，分别有 A,B,C,D,E,F,G,H 共8支队伍参加，现在想算前三名的排列情况有多少种？

Notice:

• If "A" comes first, it cannot come second .

这个名次排列的特征：

• 次序重要
• 不可以重复

就选不重复排列方式计算即可。

from itertools import permutations

itering = permutations(['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H'], 3)
plist = list(itering)
print("前三名的排列有多少种: ", len(plist))
print("permutations list: ", plist)


# out
前三名的排列有多少种: 336
permutations list:  [('A', 'B', 'C'), ('A', 'B', 'D'), ('A', 'B', 'E'), ('A', 'B', 'F'), ... ]

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Tool

排列和组合计算器
https://permutation-combination-calculator.bchrt.com/

Online Tool
https://gadget.chienwen.net/x/math/percomb