P2822 组合数问题

题目描述

组合数 表示的是从 nnn 个物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数  的一般公式：

​

其中 n!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=1。

小葱想知道如果给定 n,m 和 k，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)有多少对 (i,j) 满足 是 k 的倍数。

输入格式

第一行有两个整数t,k，其中 t 代表该测试点总共有多少组测试数据，k 的意义见问题描述。

接下来 t 行每行两个整数 n,m，其中 n,m 的意义见问题描述。

输出格式

共 t 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)中有多少对 (i,j) 满足 是 k 的倍数。

输入输出样例

输入 #1

1 2
3 3

输出 #1

1

输入 #2

2 5
4 5
6 7

输出 #2

0
7

说明/提示

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

【子任务】

思路

前缀和，有效减少查询统计时的复杂度，每一次查询O(n)降到O(1),绝对过的了
记住：上加左 减左上 加自己
ans[i][j]=ans[i][j−1]+ans[i−1][j]−ans[i−1][j−1]

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=2010;

int t,k,n,m;
int c[N][N],s[N][N];

int main () {
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(s,0,sizeof(s));
	scanf("%d%d",&t,&k);
	c[1][1]=1;
	for(int i=0; i<=2000; i++)
		c[i][0]=1;
	for(int i=2; i<=2000; i++)
		for(int j=1; j<=i; j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
	for(int i=2; i<=2000; i++) {
		for(int j=1; j<=i; j++) {
			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
			if(c[i][j]==0)
				s[i][j]+=1;
		}
		s[i][i+1]=s[i][i];
	}
	while(t--) {
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(m>n)
			m=n;
		printf("%d\n",s[n][m]);
	}
	return 0;
}