#0020. 「Codeforces」1366D Two Divisors

题目大意：

　　给n个数，每次输出任意一组a,b，满足a,b均为该数因数且和与该数互质(a>1,b>1)。若不存在则输出(-1,-1)

题目解法：

　　我们把这个给定的数字用x表示

　　首先我们很容易观察到a,b互质。因为如果a,b有公因数c，a+b必定为c的倍数。又因为a,b为x的因数，所以c也一定是x的因数。这样的话a+b和x必定有公因数c

　　先给结论，对于任意一个x若有解则一定能构造出一组互质的a,b且满足a*b=x

　　证明分为两部分：

　　1. 若构造不出满足a*b=x,gcd(a,b)=1的解，则不存在解

　　　　假设存在一组满足题意的a',b'，且a'*b'!=x

　　　　因为a',b'互质，所以a',b'的质因数互不重合。又因为a',b'为x的因数，分解质因数后每项指数一定不会超过x中该项的指数。

　　　　因此a'*b'不可能超过x，即a'*b'=x。

　　　　而对于每组这样的a',b'，我们显然都可以把每项指数放到最大，转化成a'*b'的情况。

　　2. 若a*b=x,gcd(a,b)=1，gcd(a+b,x)=1

　　　　若a,b互质，一定不存在一个c，使得a%c=b%c=(a+b)%c=0（不然a,b就有公因数c了）

　　　　而因为a*b=x,x的质因数要么是a的因数要么是b的因数，不可能再同时为a+b的因数。因此此时a+b,x一定互质

　　然后我们就可以对x分解质因数，若x只有1个质因数则无解，否则对于x=p1^q1+...+pk^qk，直接令a=p1^q1,b=x/a即可

　　其实a*b=x这个限制只是想要好写一点，精髓在于把所有质因数要么放在a里要么放在b里。