CSP初赛复习-28-动态规划-区间动态规划

CSP初赛复习-28-动态规划-区间动态规划

前缀和

对于一个给定的数列，它的前缀和数列中表示从第1个元素到第i个元素的总和。

示例1

前缀和可以直接通过递推公式计算

S[i]=S[i-1]+A[i]//S[i-1]表示1~i-1所有元素的和，加上A[i]就构成了1~i个元素的和

区间和

表示连续区间的和

例1 示例1中，1~3的区间和

3个元素相加
A[2]+A[3]+A[4]=2+3+4=9
通过前缀和计算
S[j]-s[i-1]=s[4]-s[1]=10-1=9
--
S[1]=A[1]
s[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
s[4]-S[1]=A[2]+A[3]+A[4]

例2 示例1中，3~6的区间和

4个元素相加
A[3]+A[4]+A[5]+A[6]=3+4+5+6=18
通过前缀和计算
S[j]-s[i-1]=s[6]-s[2]=21-3=18
--
S[2]=A[1]+A[2]
s[6]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]
s[4]-S[1]=A[3]+A[4]+A[5]+A[6]

题目描述

给定n个正整数组成的数列a[1] , a[2] , a[3] ...a[n]和m个区间[L,R],分别求这m个区间的区间和,对于所有测试数据,

n,m<=10^5 , a[i]<=10^4

输入格式

第一行，为一个正整数n

第二行，为n个正整数a[1] , a[2] , a[3] ...a[n]

第三行，为一个正整数m

接下来m行，每行为两个正整数L，R,满足1<=L<=R<=n

输出格式

共m行

第i行为第i组的答案询问

输入样例

4
4 3 2 1
2
1 4
2 3

输出样例

10
5

大致思路

1 可以通过循环求单个区间和 ，时间复杂度最大10^5,如果区间也达到最大值 10 ^5,则可能超时

2 可以通过递推先计算所有元素的前缀和，时间复杂度最大10^5

3 再进行m次循环，每次询问直接随机读取，m次询问时间复杂度最大10^5,时间不会超时

参考程序

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],s[N];//a[N]原始数组 s[N]前缀和数组
int main(){
    int n,m;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){//输入n个正整数 
    	cin>>a[i];	
	}
    for(int i=1;i<=n;i++){//通过递推求前i项的前缀和 
    	s[i]=s[i-1]+a[i];
	}
    cin>>m;//输入m个询问区间 C++
    while(m--)//逐一询问 
    {
        int L,R;
        cin>>L>>R;//L区间左端点  R区间右端点 
        cout<<s[R]-s[L-1]<<endl;//根据前缀和求区间和 
    }
    return 0;
}

区间动态规划

区间动态规划，就是动态规划过程中求一个区间的最优解。通过将一个大的区间分为很多个小的区间，求其小区间的解，然后一个一个的组合成一个大的区间而得出最终解。

题目描述

设有N(N<=300)堆石子排成一排，其编号为1,2,3...N,每堆石子有一定的质量m[i] (m[i]<=1000).现在要将这N堆石子合并成为一堆.每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻。合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。试找出一种合理的方法，使总的代价最小，并输出最小代价

输入格式

第一行，一个整数N

第二行，N个整数m[i]

输出格式

输出文件仅一个整数，也就是最小代价

输入样例

4
2 5 3 1

输出样例

22

大致思路

1 计算前缀和数组，可以后续合并区间时直接求区间和

2 枚举所有区间长度

3 根据区间长度枚举左右端点，每个区间合并枚举i~j每个区间，合并时包括3部分

i~k 合并成一堆的最小代价dp[i][k]

k+1 ~ j  合并成一堆的最小代价 dp[k+1][j]

i~j 合并成一堆的代价 sum[j]-sum[i-1]

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//dp[i][j]所有将区间i~j合并成一堆的最小代价 
int dp[310][310],len,a[310],n,sum[310];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){//输入n个数 求前n个数的前缀和 
		cin>>a[i];
		sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){//枚举所有可能合并区间长度2~n 
		for(int i=1;i<=n-len+1;i++){//左端点1~n-len+1 保证有len的长度 
			int j=i+len-1;//右端点 
			dp[i][j]=1e8;//求最小默认最大 
			for(int k=i;k<j;k++){
				//任意区间最后一步合并一定是2个区间合并
				//这2个区间合并最小代价为 左边最小代价+右边最小代价+左右合并代价 
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
			}
		}
	}
	cout<<dp[1][n];//所有将区间1~n合并成一堆的最小代价 
}

CSP初赛复习-28-动态规划-练习题
https://www.cnblogs.com/myeln/articles/17626730.html