CSP初赛复习-22-抽屉原理

抽屉原理

抽屉原理也被称为鸽巢原理，它是组合数学中一个重要的原理，由德国数学家狄利克雷于1834年提出的。

把这3苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，总有一个抽屉至少放 2个苹果

分析

总共有如下几种放法：

0个苹果都放入箱子A，3个苹果放入箱子B

0个苹果都放入箱子A，3个苹果放入箱子B

1个苹果都放入箱子A，2个苹果放入箱子B

2个苹果都放入箱子A，1个苹果放入箱子B

关注对象是放入苹果多的箱子，一定存在的可能性，因此是总有一个抽屉(放入苹果多的箱子)至少有2个(可能有3个）

抽屉原理1

把n+1个苹果任意放到n个抽屉中，那么保证至少有一个抽屉中的苹果至少不少于2个

例题

将10个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉里面至少有2个苹果

抽屉原理2

将m个苹果放入n个抽屉中，(m>n),结果有2种可能

1 m÷n=q......r(r>0) ,则至少有1个抽屉放q+1个苹果

2 m÷n=q，则至少有1个抽屉放q个苹果

例题1

将5个苹果放入3个抽屉中，至少有1个抽屉放( )个苹果

5÷3=1......2

至少放1+1=2个苹果

例题2

将6个苹果放入3个抽屉中，至少有1个抽屉放( )个苹果

6÷3=2

至少放2个苹果

抽屉原理中主要保证一个箱子一定可以尽可能做放苹果，这个箱子我们称为王牌箱子

要王牌箱子存放的苹果最少，那就需要其他抽屉尽量存放的苹果数量多，这种不利于王牌箱子多放苹果的存放原则称为最不利原则

最不利原则

最不利原则其实说的是最坏的、最倒霉、最不理想的一种情况，做题时要按照最坏的情况来做题，也就是要做最坏的打算，考虑最糟糕的情况

利用最不利原则解决题目时就是要考虑最不利情况，即与成功只有一步之差的情况，结果数=最不利情况数+1

例题1

盒子有红球6个，黄球8个，从中至少摸多少求才能保证

1 有2个相同颜色的球

2 有2个颜色不同的球

分析

1

要有两个颜色相同的球，最起码要摸两个球，可最坏的情况是你可能会摸到一红一黄，

但如果你再摸一个球，这个球不是红色就是黄色，这样或有二个红色，或有二个黄色，

保证了有两个颜色相同的球。

即至少要摸3个球

2

要有两个颜色不同的球，最起码要摸两个球，可最坏的情况是你有可以摸到二个红色或两个黄色，

同理我们可推出，你摸6个球，最坏可能是6个红球或6个黄球；

你摸8个球，最坏可能是8个黄球，

但如果你再摸一个，一定是红球，这样就可保证至少有两个颜色不同的球了，即至少要摸9个球。

例题2

碗柜里有木筷子6支，竹筷子8支，从中摸出最少多少支筷子，才能保证有两双不同的筷子?

分析

要保证有两双不同的筷子，需要两种筷子各一双

至少需要摸出4支筷子，但4支筷子可能都是木筷子或者都是竹筷子

如果摸出6支筷子也可能是6支木筷子或者8支竹筷子

如果摸出8支筷子也可能是8支竹筷子

如果摸出8支竹筷子，再摸出2支必然是木筷子

因此最少需要摸出10支筷子

例题3

在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有?

分析

一幅扑克牌有13张红桃，13张黑桃，13张方块，13张梅花，和大小王各一张

要保证取4种不同花色，先取一种花色

比如红桃

最差的情况有可能13张都是红桃

然后继续取黑桃13张

然后继续取方块13张

然后取大小王2张

到此时再取1张才取到梅花了，真是不能再差了

综上需要取

13+13+13+2+1=42张