CSP初赛复习-21-容斥原理例题分析及错位排列

数学符号

⌊x⌋ 向下取整符号 表示小于等于 x 的最大的整数

例如

⌊13/3⌋=4

⌈x⌉ 向上取整符号 表示大于等于 x 的最小的整数

例如

⌈13/3⌉=5

例1

某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是？

分析

属于2集合容斥原理

答对总人数

26+24-17=33

答错总人数

38-33=5

例2

某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？

分析

属于3集合容斥原理

选课总人数

40 + 36 +30 -28 - 26 - 24 +20 =48

未选课总人数

50 - 48 =2

例3

某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为？

分析

可以画出对应韦恩图如下

参加长跑 + 参加跳远 +参加短跑 = 49 +36 +28 =113 人 (包括图中蓝色部分1次，绿色部分2次，红色部分3次)

参加总人数为蓝色部分，绿色部分，红色部分各1次

因此需要绿色部分减去1次 红色部分减去2次

所以总人数为

113 - 13 -9 *2 = 82 人

例4

在1 ~300的整数中

1 能被3或能被5或能被7整除的数有多少个？

2 能被3整除，但不能被5、7种的任何一个数整除的有多少个？

分析

S={1,2,3....300}, A 、B 、C 分别表示S中3、5、7的倍数集合，则

300以内 能被3整除的数的个数为⌊300/3⌋=100

300以内 能被5整除的数的个数为⌊300/5⌋=60

300以内 能被7整除的数的个数为⌊300/7⌋=42

300以内 既能被3整除又能被5整除的数的个数为⌊300/15⌋=20

300以内 既能被3整除又能被7整除的数的个数为⌊300/21⌋=14

300以内 既能被5整除又能被7整除的数的个数为⌊300/35⌋=8

300以内 同时被3、5、7整除的数的个数为⌊300/105⌋=2

所以 |A|=100、|B|=60 、|C|=42 、|A∩B|=20、|A∩C|=14、|B∩C|=8、|A∩B∩C|=2

所以第1问

被 3，5，7 任意整除集合表示

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=100+60+42-20-14-8+2=162

第2问，根据如下韦恩图

|A|-|A∩B|-|A∩C|+|A∩B∩C|=100-20-14+2=68

例5

某班统计考试成绩，数学90分以上的有25人，语文90分以上的有21人，2科中至少有一科90分以上的有38人，问2科都90分以上的有多少人？

分析

属于2集合容斥原理

A={数学成绩90分以上的学生}

B={语文成绩90分以上的学生}

由 |A∪B| = |A|+|B|-|A∩B|

可得

|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=25 +21-38=8

错位排列

有1号物品，2号物品，3号物品……n号物品，它们都有自己对应的箱子：1号箱，2号箱，3号箱……n号物品，必须放在自己箱子，

现在你把物品放到箱子里，结果一个物品也没有放对，全部都放错了，那么这个时候这些物品所构成的排列就被称为错位排列

递推公式

1 用D[i]表示i个物品的错位排列总数

D[n]怎么算，我们现在有n个物品，n个箱子

2 第1个物品，它不放到第一个箱子就行，有(n-1)种选择

比方说我们把它放到2号箱子

3 考虑2号物品怎么放，分类讨论

把2号物品放到1号箱子中，剩下的3~n号物品就是一个新的错位排列

2号物品不放到1号箱子

那么这时的1号箱子，就相当于问题最开始的2号箱子，都不能装2号物品，又是一个新的错位排列问题

那么这种情况就有D[n-1]种选法

1号物品除了放在2号箱子，还可以放在3号，4号……共(n-1)种选择

因此，递推公式如下

D[n]=(n-1)*(D[n-1]+D[n-2])

通项公式

常用错位排列数

3个元素的错位排列有2种

4个元素的错位排列有9种

5个元素的错位排列有44种

例题

4位厨师聚餐时，各做了一道拿手菜，现在每人去品尝一道菜，但是不能品尝自己做的那道菜，共有多少不同的品尝方法？

分析

4人错排代入公式

4!(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)=24(1/2-1/6+1/24)=9

部分错位排列

n个不同元素排成一排，恰好有m个元素不在相应的位置

通项公式

例题

重排6人小组座次，恰好2人的位置没有发生改变，共有多少种排法？

分析

2人的位置没有发生改变，说明有4人不在原来位置

所以C(6,4) * a4 =C(6,2) * a4=6*5/2 * 9=135种

a4代表4个元素的错位排列