CSP初赛复习-21-容斥原理

CSP初赛复习-21-容斥原理

集合数学符号

1 N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

2 N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}

3 Z：整数集合{…,-1,0,1,…}

4 Q：有理数集合

5 Q+：正有理数集合

6 Q-：负有理数集合

7 R：实数集合(包括有理数和无理数）

8 R+：正实数集合

9 R-：负实数集合

10 C：复数集合

11 ∅：空集（不含有任何元素的集合）

元素

一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，元素是一个单独的对象

集合

把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，是一些元素组成的整体

元素与集合的关系

属于

a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A

例如

A＝{1， 2，3，4} 其中 1∈A

不属于

a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A

例如

A＝{1， 2，3，4} 其中 5∉A

元素与集合的性质

1 确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现

例1

1至5的所有整数，即是1，2，3，4，5。这个集合便满足集合元素的确定性

例2

身材较高的人 便是不确定的元素，没有一个准确的标准去表达如何算“较高”的情况下，这个元素便不能构成集合

2 互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次

例1 满足 互异性

{1,4,5} 这样集合中各个元素不一样，各个元素之间的互异

例2 不满足互异性

{1,1,3} 集合中1和1重复 不互异这样的集合是不成立

3 无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的

即集合{1,2}和集合{2,1}是同一个集合

集合的基数

元素和集合还有一个关系，就是一个集合中有多少元素，这称为集合的基数（Cardinal）

有限集合

对于有限集合，比如 A= {1,2,3,4} 它的基数就是该集合元素的个数，

记作：|A| = 4

无限集合

不是有限集合的集合，即由无限个元素组成的集合，称为无限集合，简称无限集

例如

A={非负整数}

容斥原理

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算， 人们研究出一种新的计数方法

主要思想

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的 所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重 复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗 漏又无重复

对有限集合S，用|S|　表示S的元素个数

第1形式

设A，B是有限集合，则

几何表示 -韦恩图

例题

期末考试，某班有15人数学满分，有12人语文满分，并且4人语文、数学都满分，那么这个班至少有1人满分的同学有多少人？

分析

语文满分 A

数学满分 B

语文和数学都的满分 A ∩ B

求A ∪ B

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|=15 + 12 - 4 =23

第2形式

设A、B、C是有限集合，则

几何表示 -韦恩图

例题

某班有10个学生喜欢数学，15个学生喜欢语文，21个学生喜欢编程，既喜欢数学又喜欢语文的有5人，既喜欢语文又喜欢编程的有7人，既喜欢数学又喜欢编程的有4人，3门同时喜欢的有3人，班里至少喜欢一门学科的有多少个学生？

分析

喜欢数学 A

喜欢语文 B

喜欢编程 C

至少喜欢一门 |A ∪ B ∪ C|

根据公式

10 + 15 +21 - 5 - 7 - 4 +3 = 33