CSP初赛复习-05哈夫曼树和哈夫曼编码

CSP初赛复习-05哈夫曼树和哈夫曼编码

哈夫曼树的基本概念

树的路径长度PL：

1. 从树根到树的每个节点的路径长度（每条边长度为1）之和

2. 完全二叉树为这种路径长度(PL)最短的二叉树

树的带权路径长度WPL：

树的所有叶子节点的带权路径长度（该节点到根节点路径长度与节点上权的乘积）之和。

WPL=7 * 3 + 5 * 3 +2 * 1 +4 * 2 =46

WPL计算公式

哈夫曼树：

1. 带权路径长度WPL最短的二叉树（最优二叉树）

2. 构造这种树的算法最早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出，这种树在信息检索中很有用。

例1，构造哈夫曼树的WPL为35是最小的。具体比较如下图：

如何构造一棵哈夫曼树？（哈夫曼树也是一棵二叉树）

给n个点，每个点都有权值，构造一棵哈夫曼树。每次选剩下的两棵根权值最小的树合并成一棵新树，新树的根权值等于两棵合并前树的根权值和。（一开始一个点也看成一棵树，只不过这棵树没有孩子节点）

例1：4个点，a、b、c、d，权值分别为7、5、2、4。

构树过程：因为4个点，所以合并3次（n个点，合并n-1次）

第一步：选根权值最小的两棵树2（c）和4（d）合并，新树的根节点为6，如图(b)；

第二步：选根权值最小的两棵树5（b）和6合并，新树的根节点为11，如图(c)；

第三步：选根权值最小的两棵树7（a）和11合并，新树的根节点为18，如图(d)；

例2：6个点，a、b、c、d、e、f，权值分别为0.4、0.3、0.1、0.1、0.02、0.08。

构图过程同例1（如下图）

哈夫曼编码

一篇电文，原文为：AMCADEDDMCCAD。现在要把原文转换成01串发送给对方。为了节省资源，我们当然希望翻译好的01串长度尽量的短。怎么办？

研究发现：

1、只有5个字母E,M,C,A,D；

2、这5个字母的使用频度分别为｛E,M,C,A,D｝=｛1,2,3,3,4｝。

用频度为权值生成哈夫曼树，并在叶子上标注对应的字母，在树枝上标注分配码“0”或“1”（注：分配码不是边的长度，而是区分左右孩子代表方向）:

哈夫曼编码原则：

n个节点(n个叶子节点)的哈夫曼树含有2n-1个节点，没有度为1的节点 编码从叶子节点到根节点，译码从根节点到叶子节点。

从哈夫曼树根节点开始，对左子树分配码“0”，右子树分配码“1”，一直到达叶子节点为止，然后将从树根沿每条路径到达叶子结点的代码排列起来，便得到了哈夫曼编码。

各字母的编码即为哈夫曼编码： EMCAD 所有编码长度和为12位，即PL=12，此时的PL并不是最小的，但此时的WPL一定是最小的。WPL最小才能使得密报翻译的01串长度最短。

例3：对原电文进行哈夫曼编码，如下图，则哈夫曼编码的WPL= 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 2 + 3 * 2 + 4 * 2 = 29 。

解析：

E：000 3位二进制 所以1 * 3

M：001 3位二进制 出现次数为2 所以 2 * 3

C：01 2位二进制，出现次数为3 所以 3 * 2

A：10 2位二进制，出现次数位3 所以 3 * 2

D：11 2位二进制，出现次数位4，所以 4 * 2

所以

WPL= 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 2 + 3 * 2 + 4 * 2 = 29

例4： 对原电文进行等长编码，则：

等长编码的WPL = 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 3 + 3 * 3 + 4 * 3 = 39

所以哈夫曼编码可以节省空间。

原电文AMCADEDDMCCAD翻译成01串后为：10001011011000111100101011011。

对方根据事先构造好的哈夫曼树编码表可以还原原电文。

哈夫曼编码的性质

1）哈夫曼编码是前缀编码，任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀

​ 只对叶子节点进行编码/解码唯一

例如字符串：CCACE

编码：

01011001000

解码：

根据当前的编码，找到对应的字符，此字符是唯一的(从根节点找到叶子节点)

2）哈夫曼编码是一种最优前缀编码

​ 权值(出现次数)大的编码短，这种贪心策略可以保证总体编码最短

3）哈夫曼编码是一种贪心算法

​ 从树的集合中选取两个频率最低的字符，使其作为左右子树构造一棵新树，父节点的频率为左右节点频率之和，然后将新树插入到树的集合中

贪心策略：出现频率低的在树中的深度高，编码长

CSP初赛复习-05哈夫曼树和哈夫曼编码-练习
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