信息数学-容斥原理

信息数学-容斥原理

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算， 人们研究出一种新的计数方法

这种方法的基本 思想是： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的 所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重 复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗 漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理

对有限集合S，用|S|　表示S的元素个数

容斥原理的第一形式

设A，B是有限集合，则

\(|A \cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)

容斥原理的第二形式

设A、B、C是有限集合，则

$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A \cap B| -|B \cap C|-|A \cap C|+|A \cap B \cap C| $

例题1

（NOIP10-2004）75名儿童到游乐场去玩。他们 可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已 知其中20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其 中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场 总共收入700，可知有( ) 名儿童没有玩过其中任 何一种

例题2

某学校足球队有球衣30件，篮球队有球衣15件， 排球队有球衣18件，三队队员总数为50人，其中 有3人同时参加3个队，那么同时只参加两个队的 队员有多少？

例题3

分母是1001的最简分数一共有多少个？

例题4

10000以内与10000互质的正整数有( )个

A 2000 B 4000 C 6000 D 8000

例题5

从1到2018这2018个数中，共有( ) 个包含数字8个数

例题6

某校六(1)班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球对的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

例7

网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有 30 人，参加乒乓球训练的有 35 人，请问：两个项目都参加的有多少人？

例8

一个班 30 人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有 20 人；做完数学作业的有 23 人。这些人只完成数学作业的有多少人？

例9

网校老师组织理财培训，报名股票培训的有 23 人，报名基金培训的有 32人，两项都报名的有 8 人，两项都没有报名的有 5 人，那么网校老师有多少人？

例10

网校组织 40 名老师参加趣味运动会，参加同心协力项目的有 26 人，参加万众一心项目的有 18 人，两个项目都没参加的有 6 人，两个项目都参加的有多少人？

例11

网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人，报名去鸟巢的有 42 人，两个地点都没有报名的有 8 人，那么只报名其中一个地点的有多少人？

例12

1~100 中是 2 或 5 的倍数的数有多少个？

例13

1~100 中既不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数的数有多少个？

例14

写有 1 到 100 编号的灯 100 盏，亮着排成一排，第一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？

例15

在网校 50 名老师中，喜欢看电影的有 15 人，不喜欢唱歌的有 25 人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5 人。那么只喜欢唱歌的有多少人？

例16

在网校 40 名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。其中有 10 人爱喝橙汁，15 人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。请问：只爱喝苹果汁的有几人？

例17

网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有 20 人，参加游泳比赛的有 25 人，参加羽毛球比赛的有 30 人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有 8 人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有 7 人，
同时参加了游泳和羽毛球比赛的有 6 人，三种比赛都参加的有 4 人，问参加体育比赛的共有多少人？

例18

网校老师共有 90 人，其中有 32 人参加了专业培训，有 20 人参加了技能培训，40 人参加了文化培训，13 人既参加了专业又参加了文化培训，8 人既参加了技能又参加了专业培训，10 人既参加了技能又参加了文化培训，而
三个培训都未参加的有 25 人，那么三个培训都参加的有多少人？

例19

网校共 130 名老师，其中 70 人参加了歌唱小组，80 人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有 60 人，参加了三个小组的有 30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？

例20

在 1 至 100 的自然数中，既不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5整除的数有多少个？

例21

2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 l，2，…，2006。将编号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为多少盏？