题解：洛谷 P14923 猫和老鼠

【题目来源】

洛谷：P14923 [GESP202512 八级] 猫和老鼠 - 洛谷

【题目描述】

猫和老鼠所在的庄园可以视为一张由 \(n\) 个点和 \(m\) 条带权无向边构成的连通图。结点依次以 \(1,2,\ldots,n\) 编号，结点 \(i\)（\(1\le i\le n\)）有价值为 \(c_i\) 的奶酪。在 \(m\) 条带权无向边中，第 \(i\)（\(1\le i\le m\)）条无向边连接结点 \(u_i\) 与结点 \(v_i\)，边权 \(w_i\) 表示猫和老鼠通过这条边所需的时间。

猫窝位于结点 \(a\)，老鼠洞位于结点 \(b\)。对于老鼠而言，结点 \(u\) 是安全的当且仅当：

老鼠能规划一条从结点 \(u\) 出发逃往老鼠洞的路径，使得对于路径上任意结点 \(x\)（包括结点 \(u\) 与老鼠洞）都有：猫从猫窝出发到结点 \(x\) 的最短时间严格大于老鼠从结点 \(u\) 沿这条路径前往结点 \(x\) 所需的时间。

老鼠在拿取安全结点的奶酪时不存在被猫抓住的可能，但在拿取不是安全结点的奶酪时则不一定。为了确保万无一失，老鼠决定只拿取安全结点放置的奶酪。请你计算老鼠所能拿到的奶酪价值之和。

【输入】

第一行，两个正整数 \(n,m\)，分别表示图的结点数与边数。

第二行，两个正整数 \(a,b\)，分别表示猫窝的结点编号，以及老鼠洞的结点编号。

第三行，\(n\) 个正整数 \(c_1,c_2,\ldots,c_n\)，表示各个结点的奶酪价值。

接下来 \(m\) 行中的第 \(i\) 行（\(1\le i\le m\)）包含三个正整数 \(u_i,v_i,w_i\)，表示图中连接结点 \(u_i\) 与结点 \(v_i\) 的边，边权为 \(w_i\)。

【输出】

输出一行，一个整数，表示老鼠所能拿到的奶酪价值之和。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定一张 \(n\) 个点、\(m\) 条带权无向边的连通图，每个点有价值 \(c_i\)。猫窝在 \(a\)，老鼠洞在 \(b\)。对于老鼠，结点 \(u\) 是安全的当且仅当：存在一条从 \(u\) 到 \(b\) 的路径，使得对于路径上任意结点 \(x\)（包括 \(u\) 和 \(b\)），猫从 \(a\) 到 \(x\) 的最短时间严格大于老鼠从 \(u\) 沿该路径到 \(x\) 所需的时间。求所有安全结点的价值之和。本质是在图上寻找满足特定时间约束的可行路径，可转化为最短路径与动态规划问题。
算法选择：
- Dijkstra 最短路：分别以猫窝 \(a\) 和老鼠洞 \(b\) 为源点，计算到所有点的最短距离 \(dist_a[x]\) 和 \(dist_b[x]\)。
- 最短路径 DAG 上的 DP：定义 \(T[x] = dist_a[x] + dist_b[x]\)。安全条件等价于：对于从 \(u\) 到 \(b\) 的最短路径上的每个点 \(x\)，有 \(dist_b[u] < T[x]\)。即 \(dist_b[u] < \min_{x \in \text{路径}} T[x]\)。为了判断 \(u\) 是否安全，需要计算从 \(b\) 到 \(u\) 的所有最短路径中，路径上 \(T\) 的最小值的最大值，记为 \(max\_minT[u]\)。若 \(dist_b[u] < max\_minT[u]\)，则 \(u\) 安全。
关键步骤：
- 第一次 Dijkstra：从 \(a\) 出发，计算 \(dist_a[1..n]\)。
- 第二次 Dijkstra：从 \(b\) 出发，计算 \(dist_b[1..n]\)。
- 计算 \(T\) 值：\(T[i] = dist_a[i] + dist_b[i]\)。
- 最短路径 DAG 上的 DP：
  - 初始化 \(max\_minT[b] = T[b]\)，其余为 \(0\)。
  - 将所有点按 \(dist_b\) 升序排序。
  - 遍历每个点 \(u\)，对于每条边 \((u, v, w)\)，若 \(dist_b[u] + w == dist_b[v]\)，则 \(v\) 在从 \(b\) 出发的最短路径上，更新 \(max\_minT[v] = \max(max\_minT[v], \min(max\_minT[u], T[v]))\)。
- 统计答案：遍历所有点 \(u\)，若 \(dist_b[u] < max\_minT[u]\)，则 \(u\) 安全，累加 \(c[u]\)。
- 输出：总价值。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：两次 Dijkstra 为 \(O((n+m)\log n)\)，DAG 上 DP 为 \(O(n+m)\)，总复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
- 空间复杂度：\(O(n+m)\)，存储图、距离数组和 DP 数组。
Dijkstra + 最短路径 DP 的核心思想：
- 安全条件转化：将“猫到 \(x\) 的时间 > 老鼠到 \(x\) 的时间”转化为 \(dist_b[u] < dist_a[x] + dist_b[x]\)，即 \(dist_b[u] < T[x]\)。因此 \(u\) 安全当且仅当从 \(u\) 到 \(b\) 的最短路径上所有点的 \(T\) 值都大于 \(dist_b[u]\)。
- 最短路径 DAG：在从 \(b\) 出发的最短路径构成的 DAG 上，沿最短路径方向传播 \(T\) 的最小值，计算每个点可达的最优（最大）\(minT\)。
- 适用场景：适用于图上带有时间窗或距离约束的路径可行性问题，通过最短路和 DAG 上的动态规划高效求解。

【算法标签】

普及+ #Dijkstra

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 100005;
int n, m, a, b;  // n: 节点数, m: 边数, a: 节点A, b: 源点
int c[N];  // 每个节点的权值
int ans;  // 最终答案
int dist[N];  // 从源点b到各节点的最短距离
struct Node
{
    int v, w;  // v: 目标节点, w: 距离/边权
};
vector<Node> g[N];  // 邻接表存储图
priority_queue<Node, vector<Node> > pq;  // 优先队列，用于Dijkstra
bool operator<(Node x, Node y)  // 重载<运算符，使优先队列成为小顶堆
{
    return x.w > y.w;  // 注意：priority_queue默认是大顶堆，这里用>实现小顶堆
}
bool st[N];  // Dijkstra访问标记，标记节点是否已确定最短路径

// Dijkstra算法，计算从节点b到所有节点的最短距离
void dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));  // 初始化所有距离为无穷大
    pq.push({b, 0});  // 从b点开始，距离为0
    dist[b] = 0;  // 源点b到自己的距离为0

    while (!pq.empty())
    {
        int u = pq.top().v;  // 当前节点
        int w = pq.top().w;  // 当前距离
        pq.pop();

        if (st[u])  // 如果已确定最短路径，跳过
        {
            continue;
        }
        st[u] = true;  // 标记为已确定
        dist[u] = w;  // 记录最短距离（这里w已经是dist[u]，但赋值确保一致性）

        // 遍历当前节点的所有邻接边
        for (int i = 0; i < g[u].size(); i++)
        {
            int v = g[u][i].v;  // 邻接节点
            int weight = g[u][i].w;  // 边权

            // 松弛操作：如果通过u到达v更短，则更新
            if (dist[v] > dist[u] + weight)
            {
                dist[v] = dist[u] + weight;  // 更新最短距离
                pq.push({v, dist[v]});  // 入队
            }
        }
    }
}

signed main()
{
    cin >> n >> m >> a >> b;  // 输入节点数、边数、两个特殊节点

    // 输入每个节点的权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> c[i];
    }

    // 输入图的边
    while (m--)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w});  // 无向图
        g[v].push_back({u, w});  // 无向图
    }

    dijkstra();  // 运行Dijkstra算法，计算从b到所有节点的最短距离

    // 统计所有到b的距离小于到a距离的节点的权值和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dist[i] < dist[a])  // 如果节点i到b的距离小于a到b的距离
        {
            ans += c[i];  // 累加节点i的权值
        }
    }

    cout << ans << endl;  // 输出结果

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

posted @ 2026-09-13 18:26 团爸讲算法阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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普及+ #Dijkstra

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