题解：洛谷 P5782 和平委员会
【题目来源】
【题目描述】
根据宪法，Byteland 民主共和国的公众和平委员会应该在国会中通过立法程序来创立。不幸的是，由于某些党派代表之间的不和睦而使得这件事存在障碍。此委员会必须满足下列条件：
- 每个党派都在委员会中恰有 \(1\) 个代表。
- 如果 \(2\) 个代表彼此厌恶，则他们不能都属于委员会。
每个党在议会中有 \(2\) 个代表。代表从 \(1\) 编号到 \(2n\)。编号为 \(2i-1\) 和 \(2i\) 的代表属于第 \(i\) 个党派。
任务：写一程序读入党派的数量和关系不友好的代表对，计算决定建立和平委员会是否可能，若行，则列出委员会的成员表。
【输入】
第一行有两个非负整数 \(n,m\)。他们各自表示：党派的数量 \(n\) 和不友好的代表对 \(m\)。
接下来 \(m\) 行，每行为一对整数 \(a,b\)，表示代表 \(a\) 和 \(b\) 互相厌恶。
【输出】
如果不能创立委员会，则输出信息 NIE。
若能够成立，则输出包括 \(n\) 个从区间 \(1\) 到 \(2n\) 选出的整数，按升序输出，每行一个，这些数字为委员会中代表的编号。
如果委员会能以多种方法形成，程序可以只输出它们的某一个。
【输入样例】
3 2
1 3
2 4
【输出样例】
1
4
5
【核心思想】
-
问题分析：有 \(n\) 个党派，每个党派有 \(2\) 名代表，编号为 \(2i-1\) 和 \(2i\)。需要在每个党派中恰好选择 \(1\) 名代表组成委员会，同时满足 \(m\) 个“不友好”约束：若 \(a\) 和 \(b\) 互相厌恶，则它们不能同时被选入委员会。要求判断是否存在合法方案，若存在则输出任意一组。这等价于一个2-SAT问题：每个党派 \(i\) 对应一个布尔变量 \(x_i\)，\(x_i\) 为真表示选择第 \(2i-1\) 号代表，\(x_i\) 为假表示选择第 \(2i\) 号代表。每个不友好约束 \(a, b\) 转化为两个蕴含关系：选 \(a\) 则不能选 \(b\)（即选 \(\neg b\)），选 \(b\) 则不能选 \(a\)（即选 \(\neg a\)）。
-
算法选择：
- 2-SAT + Tarjan 强连通分量：将每个变量拆成两个节点（真/假），建立有向图（蕴含图）。对 \(2n\) 个节点运行 Tarjan 算法求出所有强连通分量。若存在某个变量 \(x_i\) 的真假两个节点在同一个 SCC 中，则无解；否则有解。构造解时，对于每个党派，比较其两个代表所属 SCC 的编号，选择编号较大的那个代表（因为 Tarjan 的 SCC 编号顺序是逆拓扑序，编号较大的分量在拓扑序中更靠后，取真值可满足所有蕴含关系）。
-
关键步骤：
- 读入与建图：读取 \(n, m\)。对每个党派，用
get(x)返回同一党派中另一个代表的编号。对于每条厌恶关系 \((a, b)\)，添加边 \(a \to \neg b\)（即 \(a \to get(b)\)）和 \(b \to \neg a\)（即 \(b \to get(a)\)），表示“若 \(a\) 入选，则 \(b\) 不能入选；若 \(b\) 入选，则 \(a\) 不能入选”。 - Tarjan 求 SCC：对 \(1 \sim 2n\) 的所有节点运行 Tarjan，得到每个节点的 SCC 编号
scc[id]。 - 矛盾检查：遍历每个党派 \(i\)（\(1 \le i \le n\)），若
scc[2i-1] == scc[2i]，则无解，输出NIE。 - 构造解：若可行，对每个党派 \(i\)，若
scc[2i-1] > scc[2i]，则输出2i-1（选择第一个代表）；否则输出2i（选择第二个代表）。这是因为 SCC 编号较大的分量在拓扑序中靠后，选择该分量中的文字（即该代表）可保证所有蕴含关系成立。
- 读入与建图：读取 \(n, m\)。对每个党派，用
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n + m)\)，Tarjan 算法线性。
- 空间复杂度：\(O(n + m)\)，存储邻接表和辅助数组。
-
2-SAT 的核心思想：
- 逻辑蕴含图：每个变量对应两个节点（真/假），每个约束转化为两条蕴含边，构成一个有向图。若一个文字能推出另一个文字，则存在路径。
- 强连通分量与矛盾：若一个变量的真和假在同一个强连通分量中，则存在矛盾，无解。
- 拓扑序赋值：Tarjan 的 SCC 编号顺序是反拓扑序，因此选择编号较大的分量中的文字作为真值，可以保证所有蕴含关系被满足。
- 适用场景：适用于变量取布尔值、约束为析取式的可满足性问题，如排课、调度、电路设计等。
【算法标签】
提高 #2-SAT
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 8005 * 2; // 最多代表数 2n，n 最大为 8000（根据原题范围）
const int M = 20005 * 2 * 2; // 边数上限：m 最大 20000，每条厌恶对建两条边，再加反向边？实际建边数量为 2m
int n, m; // n: 党派数，m: 不友好代表对数
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 链式前向星邻接表
int dfn[N], low[N], tim; // Tarjan 时间戳、追溯值、时间戳计数器
int stk[N], top; // 手动栈，用于 Tarjan
int scc[N], cnt; // scc[i]: 节点 i 所属的强连通分量编号，cnt: 分量总数
// 添加一条有向边 a -> b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
// 获取代表 x 所在党派的另一个代表（即其对立面）
// 若 x 为奇数（2i-1），则返回 x+1（2i）；若为偶数，则返回 x-1
int get(int x)
{
return (x % 2) ? x + 1 : x - 1;
}
// Tarjan 算法求有向图的强连通分量
void tarjan(int x)
{
dfn[x] = low[x] = ++tim; // 初始化时间戳
stk[++top] = x; // 将当前节点入栈
// 遍历所有出边
for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
{
int y = e[i];
if (!dfn[y]) // 若未访问，递归搜索
{
tarjan(y);
low[x] = min(low[x], low[y]);
}
else if (!scc[y]) // 若已访问但未分配 SCC 编号，说明 y 在栈中
{
low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
}
// 若 x 为当前 SCC 的根节点，则弹出栈中元素，构成一个 SCC
if (low[x] == dfn[x])
{
++cnt; // 新 SCC 编号
for (int y = -1; y != x; )
{
y = stk[top--]; // 出栈
scc[y] = cnt; // 标记所属 SCC
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m; // 输入党派数和厌恶关系数
memset(h, -1, sizeof(h)); // 初始化邻接表头
// 对于每一对厌恶关系 (a, b)，添加蕴含边 a -> ¬b 和 b -> ¬a
while (m--)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, get(b)); // a 被选中 => b 不能被选中（即选 b 的对立面）
add(b, get(a)); // b 被选中 => a 不能被选中
}
// 对每个节点求强连通分量
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
{
if (!dfn[i])
{
tarjan(i);
}
}
// 检查是否存在矛盾：同一个党派的两个代表是否在同一个 SCC 中
for (int i = 1; i <= 2 * n; i += 2)
{
if (scc[i] == scc[i + 1]) // 两个代表在同一个 SCC，则无解
{
cout << "NIE";
return 0;
}
}
// 输出一组可行解：按 SCC 编号顺序选择代表
// 对于每个党派，选择 SCC 编号较大的那个代表（这是常见的构造方法）
for (int i = 1; i <= 2 * n; i += 2)
{
if (scc[i] > scc[i + 1])
{
cout << i + 1 << endl; // 选择第 i+1 个代表（即 2i）
}
else
{
cout << i << endl; // 选择第 i 个代表（即 2i-1）
}
}
return 0;
}
【运行结果】
3 2
1 3
2 4
1
4
5
浙公网安备 33010602011771号