题解：洛谷 P1843 奶牛晒衣服

【题目来源】

洛谷：P1843 奶牛晒衣服 - 洛谷

【题目描述】

熊大妈决定给每个牛宝宝都穿上可爱的婴儿装。但是由于衣服很湿，为牛宝宝晒衣服就成了很不爽的事情。于是，熊大妈请你（奶牛）帮助她完成这个重任。

一件衣服在自然条件下用一秒的时间可以晒干 \(a\) 点湿度。抠门的熊大妈只买了一台烘衣机。使用用一秒烘衣机可以让一件衣服额外烘干 \(b\) 点湿度（一秒晒干 \(a+b\) 湿度），但在同一时间内只能烘一件衣服。现在有 \(n\) 件衣服，第 \(i\) 衣服的湿度为 \(w_i\)（保证互不相同），要你求出弄干所有衣服的最少时间（湿度为 \(0\) 为干）。

【输入】

第一行三个整数，分别为 \(n,a,b\)。
接下来 \(2\) 到 \(n+1\) 行，第 \(i\) 行输入 \(w_i\)。

【输出】

一行，弄干所有衣服的最少时间。

【输入样例】

3 2 1
1
2
3

【输出样例】

1

【核心思想】

1. 问题分析：有 \(n\) 件衣服，第 \(i\) 件初始湿度为 \(w_i\)。自然条件下每件衣服每秒减少 \(a\) 点湿度；另外有一台烘干机，每秒可以让一件衣服额外减少 \(b\) 点湿度（即该件衣服每秒总减少 \(a+b\)），但同一时间只能烘干一件衣服。所有衣服同时自然晾干，且烘干机可以任意切换服务对象，求弄干所有衣服所需的最少时间。由于时间增加时可行性单调，这是一个典型的二分答案 + 贪心判定问题。

2. 算法选择：

   • 二分答案：对时间 \(t\) 进行二分，判定在 \(t\) 秒内能否将所有衣服弄干。
   • 贪心判定：在 \(t\) 秒内，每件衣服自然晾干 \(a \cdot t\) 点湿度。若 \(w_i > a \cdot t\)，则剩余 \(w_i - a \cdot t\) 点湿度必须依靠烘干机处理。由于烘干机每件衣服每秒额外烘干 \(b\) 点，第 \(i\) 件衣服需要的烘干机时间为 \(\left\lceil \frac{w_i - a \cdot t}{b} \right\rceil\)（若分子≤0则为0）。所有衣服需要的烘干机总时间若不超过 \(t\)，则 \(t\) 秒可行；否则不可行。
   • 单调性：\(t\) 越大，可行性越强，因此可以二分。

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(n, a, b\) 以及 \(n\) 个初始湿度 \(w_i\)。
   • 二分边界：左边界 \(l = 0\)，右边界 \(r = \max(w_i)\)（因为最坏情况下需 \(\max(w_i)/a\) 秒自然晾干，但也可设 \(r = 10^9\) 或 \(10^6\) 安全值）。
   • 判定函数 check(mid)：
     • 计算自然晾干量 natural = a * mid。
     • 初始化 total_time = 0。
     • 遍历每件衣服，若 w_i > natural，则计算 need = (w_i - natural + b - 1) / b，累加到 total_time。
     • 若 total_time <= mid，返回 true，否则 false。
   • 二分过程：while (l < r)，取 mid = (l + r) / 2，若 check(mid) 为真，则 r = mid，否则 l = mid + 1。
   • 输出：l 即为最少时间。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log \max(w_i))\)，二分约 \(30\) 次，每次判定 \(O(n)\)。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储湿度数组。

5. 二分答案 + 贪心判定的核心思想：

   • 可行性单调性：若 \(t\) 秒内能弄干所有衣服，则任何更大的时间也能，因此可以二分。
   • 贪心分配烘干机：烘干机的作用是弥补自然晾干的不足。每件衣服所需烘干机时间独立计算，总时间需求为各件衣服需求之和。由于烘干机可以任意切换且不影响效率，只要总需求不超过 \(t\)，就一定能安排得下（例如按任意顺序连续工作）。
   • 向上取整处理：使用 (剩余湿度 + b - 1) / b 计算需要的秒数，避免浮点数误差。
   • 适用场景：适用于资源分配、分批处理、最小最大时间类问题，当判定函数简单且单调时，二分答案是最佳选择。

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                     // 衣服数量
int a;                     // 自然晾干速度
int b;                     // 烘干机烘干速度
priority_queue<int> q;      // 大根堆，存储衣服湿度
int tim = 0;               // 总时间
int mx;                    // 当前最大湿度

int main()
{
    // 输入衣服数量、自然晾干速度和烘干机烘干速度
    cin >> n >> a >> b;

    // 输入每件衣服的初始湿度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        q.push(x);  // 将湿度加入优先队列
    }

    // 初始化当前最大湿度
    mx = q.top();
    q.pop();

    // 循环处理直到最大湿度满足条件
    while (mx > tim * a)
    {
        tim++;           // 时间增加1单位
        mx -= b;         // 使用烘干机烘干
        q.push(mx);      // 将处理后的湿度重新放入队列
        mx = q.top();    // 获取新的最大湿度
        q.pop();
    }

    // 输出总时间
    cout << tim;

    return 0;
}

【运行结果】

3 2 1
1
2
3
1