题解：洛谷 P1496 火烧赤壁

【题目来源】

洛谷：P1496 火烧赤壁 - 洛谷

【题目描述】

曹操平定北方以后，公元 \(208\) 年，率领大军南下，进攻刘表。他的人马还没有到荆州，刘表已经病死。他的儿子刘琮听到曹军声势浩大，吓破了胆，先派人求降了。

孙权任命周瑜为都督，拨给他三万水军，叫他同刘备协力抵抗曹操。

隆冬的十一月，天气突然回暖，刮起了东南风。

没想到东吴船队离开北岸大约二里距离，前面十条大船突然同时起火。火借风势，风助火威。十条火船，好比十条火龙一样，闯进曹军水寨。那里的船舰，都挤在一起，又躲不开，很快地都烧起来。一眨眼工夫，已经烧成一片火海。

曹操气急败坏的把你找来，要你钻入火海把连环线上着火的船只的长度统计出来！

给定每个起火部分的起点和终点，请你求出燃烧位置的长度之和。

【输入】

第一行一个整数，表示起火的信息条数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(a, b\)，表示一个着火位置的起点和终点（注意：左闭右开）。

【输出】

输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 个区间 \([a_i, b_i)\)（左闭右开），求这些区间的并集的总长度。直接累加会有重叠部分重复计算，因此需要先对区间按起点排序，然后合并重叠或相邻的区间，最后累加合并后区间的长度。
算法选择：
- 贪心 + 区间合并：将所有区间按左端点升序排序。维护当前合并区间的左右端点 st, ed。遍历排序后的区间，若当前区间的左端点 ≤ ed（有重叠或连续），则更新 ed = max(ed, r)；否则，将当前合并区间长度累加，并开始新的合并区间。最终累加所有合并区间的长度。
- 复杂度：排序 \(O(n \log n)\)，合并 \(O(n)\)，总体 \(O(n \log n)\)。
关键步骤：
- 读入 \(n\) 以及 \(n\) 个区间的起点和终点。
- 按左端点从小到大排序。
- 初始化 st = 第一个区间的左端点，ed = 第一个区间的右端点，sum = 0。
- 对于每个后续区间 \([l, r]\)：
  - 若 \(l \le ed\)，则与当前合并区间重叠，扩展右端点 ed = max(ed, r)。
  - 否则，将 ed - st 累加到 sum，并将 st = l, ed = r。
- 最后将最后一个合并区间的长度累加。
- 输出 sum。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序主导。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，存储区间。
贪心 + 区间合并的核心思想：
- 排序保证有序扫描：按左端点排序后，可以依次处理，确保当前区间是后续所有可能重叠区间中左端点最小的。
- 重叠判定：只要新区间的起点 ≤ 当前合并区间的终点，则必然重叠（左闭右开，等于也算重叠）。
- 贪心扩展：合并时只需更新右端点，因为左端点已经固定。
- 适用场景：适用于计算多个区间并集长度、覆盖总长度等问题，是经典的区间合并模板。

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型

int n;                  // 线段数量
int st, ed;             // 当前合并区间的起点和终点
int sum;                // 合并后的总长度

// 线段结构体
struct Line
{
    int l, r;           // 线段的起点和终点

    // 重载小于运算符，用于排序
    bool operator < (Line &t)
    {
        return l < t.l;
    }
} a[20005];             // 存储所有线段

signed main()
{
    // 输入线段数量
    cin >> n;

    // 输入每条线段的起点和终点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].l >> a[i].r;
    }

    // 按线段起点排序
    sort(a + 1, a + n + 1);

    // 初始化第一个合并区间
    st = a[1].l;
    ed = a[1].r;
    sum += a[1].r - a[1].l;

    // 遍历处理每条线段
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        // 如果当前线段与合并区间有重叠
        if (a[i].l <= ed)
        {
            // 完全被包含则跳过
            if (a[i].r < ed)
            {
                continue;
            }
            // 否则扩展合并区间
            else
            {
                st = ed;            // 更新起点为原终点
                ed = a[i].r;        // 更新终点为新线段的终点
                sum += ed - st;     // 增加扩展部分的长度
            }
        }
        // 如果没有重叠，创建新的合并区间
        else
        {
            st = a[i].l;
            ed = a[i].r;
            sum += ed - st;
        }
    }

    // 输出合并后的总长度
    cout << sum << endl;

    return 0;
}

// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int N = 2005;    // 定义最大线段数量
typedef pair<int, int> PII;  // 定义线段类型为pair

int n;                  // 线段数量
int sum;                // 合并后的总长度
vector<PII> segs;       // 存储所有线段的容器

/**
 * 合并重叠或相邻的线段
 * @param segs 待合并的线段集合（引用传递）
 */
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;    // 存储合并后的结果
    sort(segs.begin(), segs.end());  // 按线段起点排序

    int st = -2e9, ed = -2e9;  // 初始化当前合并区间为极小值

    // 遍历所有线段
    for (auto seg : segs)
    {
        // 如果当前线段与合并区间无重叠
        if (ed < seg.first)
        {
            // 如果不是初始状态，保存当前合并区间
            if (st != -2e9)
                res.push_back({st, ed});
            // 开始新的合并区间
            st = seg.first;
            ed = seg.second;
        }
        // 如果有重叠，扩展当前合并区间
        else
            ed = max(ed, seg.second);
    }

    // 保存最后一个合并区间
    if (st != -2e9)
        res.push_back({st, ed});

    segs = res;  // 更新线段集合为合并后的结果
}

signed main()
{
    // 输入线段数量
    cin >> n;

    // 输入每条线段的起点和终点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }

    // 合并线段
    merge(segs);

    // 计算合并后的总长度
    for (int i = 0; i < segs.size(); i++)
        sum += segs[i].second - segs[i].first;

    // 输出结果
    cout << sum << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-09-02 22:51 团爸讲算法阅读(11) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P1496 火烧赤壁

普及- #贪心

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