题解：洛谷 P1190 接水问题

【题目来源】

洛谷：P1190 [NOIP 2010 普及组] 接水问题 - 洛谷

【题目描述】

学校里有一个水房，水房里一共装有 \(m\) 个龙头可供同学们打开水，每个龙头每秒钟的供水量相等，均为 \(1\)。

现在有 \(n\) 名同学准备接水，他们的初始接水顺序已经确定。将这些同学按接水顺序从 \(1\) 到 \(n\) 编号，\(i\) 号同学的接水量为 \(w_i\)。接水开始时，\(1\) 到 \(m\) 号同学各占一个水龙头，并同时打开水龙头接水。当其中某名同学 \(j\) 完成其接水量要求 \(w_j\) 后，下一名排队等候接水的同学 \(k\) 马上接替 \(j\) 同学的位置开始接水。这个换人的过程是瞬间完成的，且没有任何水的浪费。即 \(j\) 同学第 \(x\) 秒结束时完成接水，则 \(k\) 同学第 \(x+1\) 秒立刻开始接水。若当前接水人数 \(n'\) 不足 \(m\)，则只有 \(n'\) 个龙头供水，其它 \(m−n'\) 个龙头关闭。

现在给出 \(n\) 名同学的接水量，按照上述接水规则，问所有同学都接完水需要多少秒。

【输入】

第一行两个整数 \(n\) 和 \(m\)，用一个空格隔开，分别表示接水人数和龙头个数。

第二行 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,…,w_n\)，每两个整数之间用一个空格隔开，\(w_i\) 表示 \(i\) 号同学的接水量。

【输出】

一个整数，表示接水所需的总时间。

【输入样例】

5 3
4 4 1 2 1

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：有 \(n\) 名同学按固定顺序排队，\(m\) 个水龙头同时供水，每个龙头每秒供水量为 \(1\)。第 \(i\) 号同学需要接水 \(w_i\) 秒。开始时前 \(m\) 名同学同时接水，每当有人完成时，排队中的下一位同学立刻接替。求所有同学接完水所需的总时间。这是一个固定顺序的多机调度模拟问题，由于顺序固定且所有龙头效率相同，最优策略（也是唯一策略）是始终让当前空闲的龙头服务等待队列中的下一位同学。

2. 算法选择：

   • 贪心模拟（累计时间法）：维护每个水龙头的“当前总工作时间”数组 \(s[1..m]\)，初始为 \(0\)。按顺序遍历 \(n\) 名同学，将第 \(i\) 名同学分配给当前总时间最小的水龙头，即 \(s[t] += w_i\)，其中 \(t = \arg\min s[j]\)。最终所有同学接完水的时间就是 \(\max_{j=1..m} s[j]\)。
   • 正确性依据：由于接水顺序固定，且每个同学必须被安排到某个水龙头，最优安排是让最早空闲的水龙头接替下一位同学，这等价于将每个新任务分配给当前累计时间最短的龙头（负载均衡）。
   • 复杂度：每次分配需遍历 \(m\) 个龙头找最小值，总时间复杂度 \(O(n \times m)\)，\(n, m \le 10000\)，可接受。若 \(m\) 较大可用优先队列优化至 \(O(n \log m)\)。

3. 关键步骤：

   • 读入 \(n, m\) 以及每个同学的接水量 \(w[1..n]\)。
   • 初始化数组 \(s[1..m] = 0\)，表示每个水龙头的累计工作时间。
   • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
     • 在 \(s[1..m]\) 中找到最小值对应的下标 \(t\)。
     • 将第 \(i\) 名同学分配给水龙头 \(t\)：\(s[t] += w[i]\)。
   • 遍历结束后，答案 \(ans = \max(s[1..m])\)，即为所有同学接完水的总时间。
   • 输出 \(ans\)。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times m)\)，若使用优先队列可优化至 \(O(n \log m)\)。
   • 空间复杂度：\(O(n + m)\)，存储接水量和龙头累计时间。

5. 贪心模拟的核心思想：

   • 固定顺序的必然性：同学按编号顺序排队，不可调整，因此模拟过程是确定的，只需正确模拟“谁接替谁”的逻辑。
   • 负载均衡视角：将每个水龙头视为一个“处理器”，每个同学是一个“任务”，任务按固定顺序到达，分配到当前负载最小的处理器上，可使总完成时间最小。
   • 等价性：每次将新同学分配给当前累计时间最短的龙头，等价于模拟真实接水过程中“最早空闲的龙头接收下一位同学”的过程。
   • 适用场景：适用于多台相同机器、任务顺序固定、处理时间已知的调度模拟问题。

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    // 输入n和m，n表示任务数量，m表示水龙头的数量
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // w数组存储每个任务的工作量（需要的时间单位数）
    int w[n+5];
    for (int i=1; i<=n; i++) cin >> w[i];

    // lt数组表示每个水龙头当前正在处理的任务编号
    // 初始时，水龙头j处理任务j（1<=j<=m）
    int lt[m+5];
    for (int j=1; j<=m; j++) lt[j] = j;

    // time记录总时间，wait表示下一个待分配的任务编号
    long long time = 0;
    int wait = m+1;

    // 主循环，模拟时间流逝
    while (true) {
        time++;  // 时间增加1个单位

        // 遍历所有水龙头
        for (int j=1; j<=m; j++) {
            // 如果水龙头j没有任务（lt[j]<0），跳过
            if (lt[j]<0) continue;

            // 水龙头j处理当前任务1个单位时间
            w[lt[j]]--;

            // 如果当前任务完成
            if (w[lt[j]]==0) {
                // 给水龙头j分配下一个任务
                lt[j] = wait;
                wait++;

                // 如果所有任务都已分配，标记水龙头j为空闲
                if (wait>n+1) lt[j]=-1;
            }
        }

        // 如果还有未分配的任务，继续下一轮处理
        if (wait<=n) continue;

        // 检查所有任务是否都已完成
        bool finish=true;
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            if (w[i]>0) {
                finish = false;
                break;
            }
        }

        // 如果所有任务都已完成，退出循环
        if (finish) break;
    }

    // 输出总时间
    cout << time;
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
int s[105];  // 每个水龙头的出水量（当前总时间）
int w[10005];  // 每人的接水量

int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入人数和水龙头数
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入每个人的接水量
    {
        cin >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 为每个人分配水龙头
    {
        int t = 1;  // 选择当前总时间最小的水龙头
        for (int j = 2; j <= m; j++)
        {
            if (s[t] > s[j])  // 找到更小的
            {
                t = j;
            }
        }
        s[t] += w[i];  // 将当前人分配到水龙头t
    }
    int mx = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)  // 找出最晚结束的水龙头
    {
        mx = max(mx, s[i]);
    }
    cout << mx;  // 输出总接水时间
    return 0;
}

【运行结果】

5 3
4 4 1 2 1
4