题解：洛谷 P1223 排队接水

【题目来源】

洛谷：P1223 排队接水 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

有 \(n\) 个人在一个水龙头前排队接水，假如每个人接水的时间为 \(T_i\)，请编程找出这 \(n\) 个人排队的一种顺序，使得 \(n\) 个人的平均等待时间最小。

【输入】

第一行为一个整数 \(n\)。

第二行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(T_i\) 表示第 \(i\) 个人的等待时间 \(T_i\)。

【输出】

输出文件有两行，第一行为一种平均时间最短的排队顺序；第二行为这种排列方案下的平均等待时间（输出结果精确到小数点后两位）。

【输入样例】

10
56 12 1 99 1000 234 33 55 99 812

【输出样例】

3 2 7 8 1 4 9 6 10 5
291.90

【核心思想】

1. 问题分析：有 \(n\) 个人排队接水，每个人接水所需时间 \(T_i\) 不同。若某个人在第 \(i\) 位接水，则他之后的所有人（共 \(n-i\) 人）都会等待他完成，产生额外的等待时间。总等待时间等于每个人接水时间乘以其后面人数的总和。目标是找到一个排队顺序，使总等待时间（或平均等待时间）最小。

2. 算法选择：

   • 贪心策略（最短作业优先）：将接水时间短的人排在前面。对于任意相邻两人，若前者时间大于后者，交换两者可使总等待时间减少，因为前者时间对后续的贡献更大。因此最优顺序为按接水时间从小到大排序。
   • 排序：使用结构体存储每个人的时间和原始编号，按时间升序排序。
   • 计算总等待时间：排序后，第 \(i\) 个人的时间 \(T_i\) 会对后面 \(n-i\) 个人产生等待，总等待时间 \(sum = \sum_{i=1}^{n} T_i \times (n-i)\)，平均等待时间 \(= sum / n\)。

3. 关键步骤：

   • 读入 \(n\) 和每个 \(T_i\)，记录原始编号（因为输出需要按顺序输出人的编号）。
   • 按 \(T_i\) 升序排序（若时间相同，编号顺序无关，但通常按输入顺序或任意）。
   • 输出排序后的编号序列，作为最优排队顺序。
   • 计算总等待时间 \(sum = \sum_{i=1}^{n} T_i \times (n-i)\)。
   • 输出平均等待时间 \(sum / n\)，保留两位小数。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，主要来自排序。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储结构体数组。

5. 贪心策略的核心思想：

   • 交换论证：若存在相邻两人 \(i\) 在前、\(j\) 在后，且 \(T_i > T_j\)，交换它们后，其他所有人的等待时间不变，而 \(i\) 和 \(j\) 的等待时间变化量为 \(T_i - T_j\)（原来 \(i\) 影响 \(j\)，交换后 \(j\) 影响 \(i\)），总等待时间减少 \(T_i - T_j > 0\)。因此，任何逆序都会降低总时间，故最优顺序为升序。
   • 局部最优到全局最优：每次选择当前剩余人中时间最短的放在最前面，该贪心选择不会使后续最优解变差。
   • 平均等待时间：总等待时间除以人数即为平均等待时间，两者同序优化。
   • 适用于单服务器、作业处理时间固定的调度问题，是经典的“最短处理时间优先”调度策略。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;

// 定义人员结构体
struct people
{
    int time;  // 该人员完成任务所需时间
    int num;   // 人员编号
} ps[1005];    // 最多1005人

// 自定义排序比较函数：按完成任务时间升序排序
bool cmp(people p1, people p2)
{
    return p1.time < p2.time;
}

int main()
{
    int n;            // 总人数
    double sum = 0;  // 总等待时间
    double avg;       // 平均等待时间

    // 输入总人数
    cin >> n;

    // 输入每个人的任务完成时间，并记录人员编号
    for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
        cin >> ps[i].time;
        ps[i].num = i;
    }

    // 按任务完成时间从短到长排序
    sort(ps + 1, ps + n + 1, cmp);

    // 输出最优排队顺序
    for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
        cout << ps[i].num << " ";
        // 计算该人员后面所有人的等待时间
        sum += (n - i) * ps[i].time;
    }
    cout << endl;

    // 计算并输出平均等待时间（保留两位小数）
    avg = sum / n;
    printf("%.2f", avg);

    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Node
{
    int t, id;  // 接水时间，编号
    bool operator < (Node &b)  // 按接水时间从小到大排序
    {
        return t < b.t;
    }
} a[1010];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;  // 输入人数
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入每个人的接水时间
    {
        cin >> a[i].t;
        a[i].id = i;  // 记录原始编号
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);  // 按接水时间排序
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输出最优顺序
    {
        cout << a[i].id << " ";
    }
    cout << endl;
    double tim = 0;  // 总等待时间
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 计算平均等待时间
    {
        tim += a[i].t * (n - i);  // 第i个人的等待时间会影响后面n-i个人
    }
    printf("%.2lf", tim / n);  // 输出平均等待时间
    return 0;
}

【运行结果】

10
56 12 1 99 1000 234 33 55 99 812
3 2 7 8 1 4 9 6 10 5
291.90