题解：洛谷 P3378 堆

【题目来源】

洛谷：P3378 【模板】堆 - 洛谷

【题目描述】

给定一个数列，初始为空，请支持下面三种操作：

给定一个整数 \(x\)，请将 \(x\) 加入到数列中。
输出数列中最小的数。
删除数列中最小的数（如果有多个数最小，只删除 \(1\) 个）。

【输入】

第一行是一个整数，表示操作的次数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行表示一次操作。每行首先有一个整数 \(op\) 表示操作类型。

若 \(op = 1\)，则后面有一个整数 \(x\)，表示要将 \(x\) 加入数列。
若 \(op = 2\)，则表示要求输出数列中的最小数。
若 \(op = 3\)，则表示删除数列中的最小数。如果有多个数最小，只删除 \(1\) 个。

【输出】

对于每个操作 2，输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

【输出样例】

2
5

【核心思想】

问题分析：维护一个动态变化的整数集合，支持三种操作：插入一个元素、查询当前集合中的最小值、删除当前集合中的最小值（若有多个则只删除一个）。这是优先队列（堆） 的经典应用场景，需要高效地支持插入、获取最小值和删除最小值操作。由于操作次数 \(n\) 可能较大（通常 \(10^5\) 级别），每次操作需在对数时间内完成。
算法选择：
- 二叉堆（小根堆）：使用数组模拟完全二叉树，维护堆性质——任意节点的值不大于其子节点（小根堆）。插入元素时放在末尾并向上调整（上浮），删除最小值时移除堆顶并用最后一个元素替代后向下调整（下沉）。每次操作时间复杂度 \(O(\log n)\)。
- C++ STL priority_queue：直接使用标准库提供的优先队列，默认为大根堆，通过 greater<int> 可得到小根堆，代码简洁且可靠。
关键步骤：
- 读入操作次数 \(n\)。
- 初始化小根堆：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;。
- 循环处理每条操作：
  - 操作 1：读入 \(x\)，执行 q.push(x)。
  - 操作 2：输出堆顶元素 q.top()（最小值）。
  - 操作 3：执行 q.pop()，删除堆顶元素。
- 注意：操作 2 和操作 3 前应确保堆非空（题目保证有效操作）。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，每次堆操作 \(O(\log n)\)。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，存储堆中元素。
堆（优先队列）的核心思想：
- 完全二叉树结构：堆是一棵完全二叉树，使用数组存储，父子节点通过下标关系快速定位（左子节点 \(2i\)，右子节点 \(2i+1\)）。
- 堆性质维护：插入和删除后通过向上/向下调整，保证根节点始终为最小值，从而 \(O(1)\) 获取最值。
- 堆排序衍生：堆结构支持动态插入删除，适用于实时获取最值的场景，是优先队列的底层实现。
- 适用场景：任务调度、Dijkstra 算法、动态中位数等需要频繁提取最值的问题。

【算法标签】

普及 #堆排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;  // 操作次数
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;  // 小根堆（最小值优先）

int main()
{
    // 输入操作次数
    cin >> n;

    // 处理每个操作
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int op, x;
        cin >> op;  // 输入操作类型

        if (op == 1)  // 操作1：插入元素
        {
            cin >> x;
            q.push(x);  // 将x插入堆中
        }
        else if (op == 2)  // 操作2：查询最小值
        {
            cout << q.top() << endl;  // 输出堆顶元素（最小值）
        }
        else if (op == 3)  // 操作3：删除最小值
        {
            q.pop();  // 删除堆顶元素（最小值）
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-09-02 22:18 团爸讲算法阅读(14) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

题解：洛谷 P3378 堆

普及 #堆排序

公告