题解：洛谷 P10452 货仓选址

【题目来源】

洛谷：P10452 货仓选址 - 洛谷

【题目描述】

在一条数轴上有 \(N\) 家商店，它们的坐标分别为 \(A_1 \sim A_N\)。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

【输入】

第一行输入整数 \(N\)。

第二行 \(N\) 个整数 \(A_1 \sim A_N\)。

【输出】

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

【输入样例】

4
6 2 9 1

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：在一条数轴上有 \(N\) 家商店，坐标分别为 \(A_1 \sim A_N\)。需要选择一个位置建立货仓，使得货仓到所有商店的距离之和最小。本质是在一维数轴上寻找一个点，使其到所有给定点的绝对距离之和最小，这是一个经典的数学优化问题，其最优解是所有坐标的中位数。
算法选择：
- 排序 + 中位数：先将所有商店坐标从小到大排序。若 \(N\) 为奇数，货仓建在最中间的那个坐标上；若 \(N\) 为偶数，建在中间两个坐标之间的任意位置均可。最常用的做法是取下标 N/2 处的元素作为货仓位置。
- 贪心策略：根据绝对值不等式 \(|a-x| + |b-x| \ge |a-b|\)，等号成立当且仅当 \(x\) 在 \(a\) 和 \(b\) 之间。将商店两两配对（最外层的 \(A_1\) 和 \(A_N\)、\(A_2\) 和 \(A_{N-1}\)……），要使每一对的距离和最小，\(x\) 必须落在每一对的内侧区间内。这些区间的公共交集即为中位数。
关键步骤：
- 读入数据：读取整数 \(N\)，以及 \(N\) 个商店坐标 \(A_1 \sim A_N\)。
- 排序：将坐标数组按升序排列。
- 确定货仓位置：取排序后数组的中位数，即 \(A_{N/2}\)（下标从 0 开始）。
- 计算最小距离和：遍历所有坐标，累加每个坐标与中位数的绝对差值。
- 输出答案：输出累加得到的距离之和。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，主要来自排序操作。
- 空间复杂度：\(O(N)\)，用于存储商店坐标数组。
贪心 + 中位数的核心思想：
- 绝对值不等式：\(|a-x| + |b-x| \ge |a-b|\)，当且仅当 \(x\) 在 \(a\) 和 \(b\) 之间时取等号。将商店坐标两两配对，最优的 \(x\) 必须同时落在每一对的内侧，即所有区间的公共交集中。
- 中位数的决定性：排序后，中位数恰好是这些嵌套区间的唯一交点（奇数个点）或交集区间（偶数个点）。货仓建在中位数处，可以保证到所有商店的绝对距离之和最小。
- 平均数 vs 中位数：平均数最小化的是距离的平方和，而中位数最小化的是绝对距离之和。本题要求的是绝对距离之和，因此应选择中位数而非平均数。
- 适用场景：适用于一维数轴上的选址问题，目标是最小化到所有点的绝对距离之和，核心是找到数据的中位数。

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 100005;  // 定义数组最大长度
int n;                     // 数字个数
int a[MAX_N];              // 存储数字的数组
int ans;                   // 存储最终结果（总距离和）

int main()
{
    // 输入数字个数
    cin >> n;

    // 输入所有数字
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];

    // 对数组进行排序（升序）
    sort(a, a + n);

    // 计算所有数字到中位数的距离之和
    for (int i = 0; i < n; i++)
        ans += abs(a[i] - a[n / 2]);  // 累加每个数字与中位数的绝对差

    // 输出结果
    cout << ans;

    return 0;
}

// 按照起始下标从1开始重新写一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 100005;  // 定义数组最大长度
int n;                     // 数字个数
int a[MAX_N];              // 存储数字的数组（从1开始索引）
int ans;                   // 存储最终结果（总距离和）

int main()
{
    // 输入数字个数
    cin >> n;

    // 输入所有数字（从1开始存储）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 对数组进行排序（升序，从a[1]到a[n]）
    sort(a + 1, a + n + 1);

    // 计算所有数字到中位数的距离之和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += abs(a[i] - a[(n + 1) / 2]);  // 累加每个数字与中位数的绝对差

    // 输出结果
    cout << ans;

    return 0;
}

【运行结果】

4
6 2 9 1
12

posted @ 2026-09-02 22:18 团爸讲算法阅读(15) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P10452 货仓选址

普及- #贪心

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