题解：洛谷 P2249 查找

【题目来源】

洛谷：P2249 【深基13.例1】查找 - 洛谷

【题目描述】

输入 \(n\) 个不超过 \(10^9\) 的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，然后进行 \(m\) 次询问。对于每次询问，给出一个整数 \(q\)，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号，如果没有找到的话输出 \(−1\)。

【输入】

第一行 \(2\) 个整数 \(n\) 和 \(m\)，表示数字个数和询问次数。

第二行 \(n\) 个整数，表示这些待查询的数字。

第三行 \(m\) 个整数，表示询问这些数字的编号，从 \(1\) 开始编号。

【输出】

输出一行，\(m\) 个整数，以空格隔开，表示答案。

【输入样例】

11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6

【输出样例】

1 2 -1

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个长度为 \(n\) 的单调不减（非降序）整数序列，进行 \(m\) 次询问，每次询问一个整数 \(q\)，要求输出 \(q\) 在序列中第一次出现的位置（从 \(1\) 开始编号），若不存在则输出 \(-1\)。由于序列有序且询问较多，需要利用单调性进行快速查找，本质是二分查找的经典应用。

2. 算法选择：

   • 整数二分查找：利用序列的非降序性质，通过不断缩小搜索区间来定位目标。对于每次查询，采用“左闭右闭”或“左闭右开”的二分模板，找到第一个 \(\ge q\) 的位置，然后检查该位置的值是否等于 \(q\)。
   • C++ STL 的 lower_bound（备选）：可直接使用 lower_bound 找到第一个不小于 \(q\) 的迭代器，再判断其值。但为练习二分，手写实现更佳。

3. 关键步骤：

   • 读入与存储：读取 \(n\)、\(m\)，以及非降序数组 \(a[1..n]\)。
   • 二分查找函数 find(q)：
     • 初始化左边界 \(l=1\)，右边界 \(r=n\)（闭区间 \([l, r]\)）。
     • 当 \(l < r\) 时，计算 \(mid = \lfloor (l+r)/2 \rfloor\)。
       • 若 \(a[mid] \ge q\)，则第一个 \(\ge q\) 的位置可能在 \([l, mid]\) 中，令 \(r = mid\)。
       • 否则，\(a[mid] < q\)，则应在 \([mid+1, r]\) 中查找，令 \(l = mid+1\)。
     • 循环结束后，\(l\) 即为第一个 \(\ge q\) 的位置。
     • 若 \(a[l] == q\)，返回 \(l\)；否则返回 \(-1\)。
   • 处理询问：对每个查询 \(q\)，调用 find(q) 并输出结果，用空格分隔。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O((n+m)\log n)\)，每次二分 \(O(\log n)\)，共 \(m\) 次查询。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组。

5. 二分查找的核心思想：

   • 单调性利用：由于数组非降序，判断 \(a[mid]\) 与 \(q\) 的关系即可确定目标在左半还是右半，每次排除一半元素。
   • 重复元素处理：通过条件 \(a[mid] \ge q\) 将右边界 \(r\) 左移，从而找到第一个 \(\ge q\) 的位置，确保即使有重复元素也能定位到首次出现。
   • 边界条件：循环结束后，\(l\) 指向第一个 \(\ge q\) 的位置，但需验证该位置的值是否等于 \(q\)，否则说明 \(q\) 不存在。
   • 适用于有序序列的快速查找问题，是算法竞赛中最基础的二分模板。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 全局变量：
// n: 数组长度
// m: 查询次数
// q: 当前查询值
// tmp: 临时变量（未使用）
// a[1000005]: 存储有序数组
int n, m, q, tmp;
int a[1000005];

/**
 * 二分查找函数
 * @param q 要查找的值
 * @return 值在数组中的位置（从1开始），未找到返回-1
 */
int find(int q)
{
    int l = 1, r = n;  // 初始化左右边界

    while (l < r)
    {
        int mid = l + (r - l) / 2;  // 计算中间位置，防止溢出

        // 调整搜索范围
        if (a[mid] >= q)
        {
            r = mid;  // 搜索左半部分
        }
        else
        {
            l = mid + 1;  // 搜索右半部分
        }
    }

    // 检查是否找到目标值
    if (a[l] == q)
    {
        return l;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}

int main()
{
    // 输入数组长度和查询次数
    cin >> n >> m;

    // 输入有序数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 处理每个查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> q;  // 输入查询值
        cout << find(q) << " ";  // 输出查找结果
    }

    return 0;
}

// 使用lower_bound再做一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 全局变量：
// n: 数组长度
// m: 查询次数
// q: 当前查询值
// mark: 存储查找结果的位置
// a[1000005]: 存储有序数组
int n, m, q, mark;
int a[1000005];

int main()
{
    // 输入数组长度和查询次数
    cin >> n >> m;

    // 输入有序数组（从索引1开始存储）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 处理每个查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> q;  // 输入查询值

        // 使用lower_bound查找第一个不小于q的元素位置
        mark = lower_bound(a + 1, a + n + 1, q) - a;

        // 检查是否找到确切值
        if (a[mark] == q)
        {
            cout << mark << " ";  // 输出找到的位置
        }
        else
        {
            cout << "-1 ";  // 未找到输出-1
        }
    }

    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m, q, tmp;
int a[1000005];

// 二分查找函数，查找目标值q
int find(int q)
{
    int l = 0, r = n + 1;  // 开区间 (0, n+1)，实际有效数据是a[1]到a[n]

    // 二分查找循环
    while (l + 1 < r)  // 当区间长度大于1时继续
    {
        int mid = (l + r) / 2;  // 计算中间位置

        if (a[mid] >= q)  // 如果中间值大于等于目标值
        {
            r = mid;  // 向左收缩，r指向可能的第一个≥q的位置
        }
        else
        {
            l = mid;  // 向右收缩
        }
    }

    // 循环结束时，l是最后一个小于q的位置，r是第一个大于等于q的位置
    if (a[r] == q)  // 检查找到的位置是否等于q
    {
        return r;  // 返回下标
    }
    else
    {
        return -1;  // 未找到
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入数组长度n和查询次数m

    // 输入数组，从1开始存储
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 处理m个查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> q;  // 输入要查找的值
        cout << find(q) << " ";  // 输出查找结果
    }

    return 0;
}

【运行结果】

11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6
1 2 -1