题解：洛谷 P8218 求区间和

【题目来源】

洛谷：P8218 【深进1.例1】求区间和 - 洛谷

【题目描述】

给定 \(n\) 个正整数组成的数列 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 和 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\)，分别求这 \(m\) 个区间的区间和。

对于所有测试数据，\(n,m\le10^5,a_i\le 10^4\)

【输入】

第一行，为一个正整数 \(n\)。

第二行，为 \(n\) 个正整数 \(a_1,a_2, \cdots ,a_n\)

第三行，为一个正整数 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行为两个正整数 \(l_i,r_i\) ，满足\(1\le l_i\le r_i\le n\)

【输出】

共 \(m\) 行。

第 \(i\) 行为第 \(i\) 组答案的询问。

【输入样例】

4
4 3 2 1
2
1 4
2 3

【输出样例】

10
5

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的正整数序列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，以及 \(m\) 个区间查询 \([l_i, r_i]\)，需要依次输出每个区间内所有元素之和。由于 \(n, m \le 10^5\)，若每次暴力求和会超时，需利用预处理将区间和查询优化为 \(O(1)\) 操作。

2. 算法选择：

   • 前缀和：预处理前缀和数组 \(S[i] = \sum_{k=1}^{i} a_k\)（\(1 \le i \le n\)），则区间 \([l, r]\) 的和为 \(S[r] - S[l-1]\)。预处理 \(O(n)\)，每次查询 \(O(1)\)，总时间复杂度 \(O(n+m)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。

3. 关键步骤：

   • 读入 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)。
   • 计算前缀和数组 \(s[0] = 0\)，对于 \(i=1..n\)，\(s[i] = s[i-1] + a[i]\)。
   • 读入 \(m\)，对每个查询 \((l, r)\)，输出 \(s[r] - s[l-1]\)。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n + m)\)，预处理 \(O(n)\)，每次查询 \(O(1)\)。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储前缀和数组。

5. 前缀和的核心思想：

   • 通过预计算前缀和，将子数组求和问题转化为两个前缀和的差，消除重复计算。
   • 适用于静态数组的多次区间和查询，是处理区间统计问题的基础技巧。
   • 可推广到二维前缀和、差分数组等更复杂的场景。

【算法标签】

普及- #前缀和

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 100005;  // 定义数组最大长度
int n, m;                   // n: 数组长度, m: 查询次数
int a[MAX_N];               // 存储原始数组
int s[MAX_N];               // 存储前缀和数组

int main()
{
    // 输入数组长度
    cin >> n;

    // 输入数组元素并计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i];  // 前缀和公式：s[i] = s[i-1] + a[i]
    }

    // 输入查询次数
    cin >> m;

    // 处理每个查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int l, r;  // 查询区间[l, r]
        cin >> l >> r;

        // 输出区间和：s[r] - s[l-1]
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005;  // 定义数组最大长度
int n, m;              // n: 数组长度, m: 查询次数
int a[N];              // 原始数组
int s[N];              // 前缀和数组

int main()
{
    // 输入数组长度
    cin >> n;

    // 输入数组元素
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 计算前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i];  // s[i] = 前i项的和

    // 输入查询次数
    cin >> m;

    // 处理每个查询
    while (m--)
    {
        int l, r;  // 查询区间[l, r]
        cin >> l >> r;

        // 输出区间和：s[r] - s[l-1]
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

4
4 3 2 1
2
1 4
10
2 3
5