题解：洛谷 P1163 银行贷款

【题目来源】

洛谷：P1163 银行贷款 - 洛谷

【题目描述】

当一个人从银行贷款后，在一段时间内他（她）将不得不每月偿还固定的分期付款。这个问题要求计算出贷款者向银行支付的利率。假设利率按月累计。

【输入】

三个用空格隔开的正整数。

第一个整数表示贷款的原值 \(w_0\)，第二个整数表示每月支付的分期付款金额 \(w\)，第三个整数表示分期付款还清贷款所需的总月数 \(m\)。

【输出】

一个实数，表示该贷款的月利率（用百分数表示），四舍五入精确到 \(0.1\%\)。

【输入样例】

1000 100 12

【输出样例】

2.9

【核心思想】

1. 问题分析：已知贷款总额 \(w_0\)、每月等额还款 \(w\) 和还款总月数 \(m\)，求月利率 \(x\)（用百分数表示，精确到 \(0.1\%\)）。每月还款后剩余欠款遵循“先计息后还款”的规则，即 \(余额 = 余额 \times (1 + x) - w\)。这是一个数值求解问题，函数 \(f(x)\) 表示在月利率 \(x\) 下还完 \(m\) 个月后的剩余欠款。当 \(f(x) = 0\) 时，\(x\) 即为所求利率。由于 \(f(x)\) 随 \(x\) 单调递增，可以用浮点二分在可行域内逼近零点。

2. 算法选择：

   • 浮点二分（实数二分）：月利率 \(x\) 的范围为 \([0, +\infty)\)，但实际不可能过高，通常取 \([0, 10]\)（即 \(0\% \sim 1000\%\)）作为搜索区间。由于 \(f(x)\) 严格单调递增（\(x\) 越大，利息越多，剩余欠款越多），可以通过二分找到使 \(f(x) \ge 0\) 的最小 \(x\)，即第一个还款不足（或恰好还清）的利率。
   • 检查函数 check(x)：模拟 \(m\) 个月的还款过程，计算剩余欠款 \(s\)。若 \(s \ge 0\)，说明利率 \(x\) 偏高或刚好（还款不足或恰好还清），则减小右边界；否则（\(s < 0\)，提前还清），说明利率偏低，增大左边界。
   • 精度控制：输出要求保留 \(1\) 位小数百分比，即绝对误差小于 \(0.05\%\)。二分精度达到 \(10^{-5}\)（对应 \(0.001\%\)）即可保证四舍五入正确。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(w_0\)（贷款原值）、\(w\)（每月还款）、\(m\)（还款月数）。
   • 定义检查函数：bool check(double x)：
     • 初始化 s = w0。
     • 循环 \(i\) 从 1 到 \(m\)：s = s * (1 + x) - w。
     • 若 s >= 0 返回 true，否则返回 false。
   • 二分查找：左边界 l = 0，右边界 r = 10（确保包含真实利率）。
     • 当 r - l > 1e-5 时：
       • mid = (l + r) / 2。
       • 若 check(mid) 为真，则 r = mid（尝试更小利率）；
       • 否则 l = mid（尝试更大利率）。
   • 输出：printf("%.1f", r * 100)，将月利率转换为百分数并保留一位小数。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(m \times \log(\text{范围}/\text{精度}))\)，二分约 \(50\) 次迭代，\(m\) 通常较小，完全可行。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 浮点二分 + 金融模型的核心思想：

   • 单调性利用：月利率越高，每月产生的利息越多，导致剩余欠款越大。函数 \(f(x)\) 单调递增，因此可以二分。
   • 模拟还款过程：通过循环精确模拟每月“计息-还款”的现金流，得到剩余欠款，避免了公式推导的复杂性。
   • 精度控制：浮点二分通过不断缩小区间达到所需精度，简单可靠。
   • 适用场景：适用于等额本息还款、投资回报率计算等金融领域数值求解问题，是浮点二分的经典应用。

【解题思路】

【算法标签】

普及 #浮点二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 全局变量：
// loan: 贷款金额
// pay: 每月还款金额
// month: 还款月数
// rate: 月利率（未使用）
// mid: 当前尝试的月利率
// l, r: 二分查找的左右边界
// t: 临时变量，用于计算剩余贷款
int loan, pay, month;
double rate, mid, l = 0, r = 10, t;

int main()
{
    // 输入贷款金额、每月还款金额和还款月数
    cin >> loan >> pay >> month;

    // 二分查找计算实际月利率
    while (l <= r)
    {
        mid = l + (r - l) / 2;  // 计算中间值，防止溢出

        // 当左右边界足够接近时终止循环
        if (r - l < 0.0001)
        {
            break;
        }

        t = loan;  // 初始化剩余贷款

        // 模拟按月还款过程
        for (int i = 1; i <= month; i++)
        {
            t = t * (1 + mid) - pay;  // 计算每月还款后的剩余贷款
        }

        // 根据计算结果调整搜索范围
        if (t > 0)  // 还款不足，利率过高
        {
            r = mid;
        }
        else if (t < 0)  // 还款过多，利率过低
        {
            l = mid;
        }
        else  // 刚好还清，直接输出
        {
            printf("%.1f", mid * 100);
            return 0;
        }
    }

    // 输出最终确定的月利率（转换为百分数）
    printf("%.1f", mid * 100);

    return 0;
}

// 使用老师介绍的板子再写一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, c;  // a: 贷款总额, b: 每月还款额, c: 还款月数

// 检查函数：判断给定的月利率x是否可行
// 即按照利率x还款c个月后，剩余欠款是否>=0
bool check(double x)
{
    double s = a;  // s为未还的钱数（剩余欠款）

    for (int i = 1; i <= c; i++)
    {
        s = s * (1 + x) - b;  // 每月：剩余欠款先加上利息，再减去还款
    }

    return s >= 0;  // 如果剩余欠款>=0，说明利率过高或刚好
}

// 二分查找：寻找月利率x
double find()
{
    double l = 0, r = 10;  // 搜索月利率范围[0%, 1000%]

    while (r - l > 1e-5)  // 精度控制
    {
        double mid = (l + r) / 2;

        if (check(mid))  // 如果mid利率可行（过高）
        {
            r = mid;  // 尝试更小的利率
        }
        else
        {
            l = mid;  // 尝试更大的利率
        }
    }

    return r;  // 返回满足条件的最小月利率
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> c;  // 输入贷款总额、每月还款额、还款月数
    double ans = find();  // 计算月利率
    printf("%.1f", ans * 100);  // 转换为百分比，保留一位小数
    return 0;
}

// 使用acwing的模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, c;  // a:贷款总额, b:每月还款额, c:还款月数

// 检查函数：计算给定月利率x下，还款c个月后的剩余欠款
bool check(double x)
{
    double s = a;  // 初始欠款

    for (int i = 1; i <= c; i++)
    {
        s = s * (1 + x) - b;  // 每月：剩余欠款×（1+利率）- 还款额
    }

    return s >= 0;  // 如果剩余欠款>=0，说明利率过高或刚好
}

// 二分查找函数：寻找符合条件的月利率
double find()
{
    double l = 0, r = 10;  // 搜索范围：月利率0%~1000%
    double eps = 1e-5;     // 精度控制：0.001%

    while (r - l > eps)  // 当区间足够小时停止
    {
        double mid = (l + r) / 2;

        if (check(mid))  // 如果mid利率可行（剩余欠款>=0）
        {
            r = mid;  // 利率可能过高，尝试更小的利率
        }
        else
        {
            l = mid;  // 利率过低，尝试更大的利率
        }
    }

    return l;  // 返回左边界（最后一个不可行的利率）
}

int main()
{
    cin >> a >> b >> c;  // 输入数据

    double ans = find();  // 计算月利率
    printf("%.1f", ans * 100);  // 转换为百分比，保留1位小数

    return 0;
}

【运行结果】

1000 100 12
2.9