题解：洛谷 P1083 借教室

【题目来源】

洛谷：P1083 [NOIP 2012 提高组] 借教室 - 洛谷

【题目描述】

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来 \(n\) 天的借教室信息，其中第 \(i\) 天学校有 \(r_i\) 个教室可供租借。共有 \(m\) 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 \(d_j,s_j,t_j\)，表示某租借者需要从第 \(s_j\) 天到第 \(t_j\) 天租借教室（包括第 \(s_j\) 天和第 \(t_j\) 天），每天需要租借 \(d_j\) 个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 \(d_j\) 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 \(s_j\) 天到第 \(t_j\) 天中有至少一天剩余的教室数量不足 \(d_j\) 个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

【输入】

第一行包含两个正整数 \(n,m\)，表示天数和订单的数量。

第二行包含 \(n\) 个正整数，其中第 \(i\) 个数为 \(r_i\)，表示第 \(i\) 天可用于租借的教室数量。

接下来有 \(m\) 行，每行包含三个正整数 \(d_j,s_j,t_j\)，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 \(1\) 开始的整数编号。

【输出】

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 \(0\)。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数 \(-1\)，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

【输入样例】

4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4

【输出样例】

-1
2

【核心思想】

1. 问题分析：有 \(n\) 天的教室可用数量 \(r_i\)，以及 \(m\) 个订单，每个订单 \((d_j, s_j, t_j)\) 表示从第 \(s_j\) 天到第 \(t_j\) 天每天需要 \(d_j\) 个教室。订单按顺序处理，一旦某天教室不够用，则停止并报告该订单编号。求第一个无法满足的订单，或输出 0 表示全部满足。本质是判断一个前缀订单集合是否可行，且可行性随订单数量增加而单调递减，因此可用二分答案。

2. 算法选择：

   • 二分答案：对订单数量 \(x\) 进行二分，检查前 \(x\) 个订单是否都能满足。
   • 差分数组：对于给定的前 \(x\) 个订单，利用差分数组在 \(O(n)\) 时间内计算出每天被占用的教室总数，再与可用数量比较。差分数组将区间加操作（\(s_j\) 到 \(t_j\) 加 \(d_j\)）转化为两个端点修改，配合前缀和还原，避免了 \(O(n \cdot x)\) 的暴力累加。

3. 关键步骤：

   • 读入数据：存储每天可用教室数 \(r[1..n]\)，以及每个订单的 \(d_j, s_j, t_j\)。
   • 定义检查函数 check(x)：
     • 初始化差分数组 \(num[1..n+1]\) 全 0。
     • 遍历前 \(x\) 个订单：num[s_j] += d_j，num[t_j+1] -= d_j。
     • 计算前缀和得到每天实际占用数：num[i] += num[i-1]。
     • 若存在某天 num[i] > r[i]，则返回 false；否则返回 true。
   • 二分查找最后一个满足条件的订单数：
     • 左边界 \(l=0\)，右边界 \(r=m\)（开区间或闭区间均可）。
     • 当 \(l < r\) 时，取 \(mid = \lceil (l+r)/2 \rceil\)（或使用 (l+r+1)/2）。
     • 若 check(mid) 为真，则 \(l = mid\)；否则 \(r = mid-1\)。
   • 输出结果：若 \(l == m\)，则全部满足，输出 0；否则输出 -1 和 \(l+1\)（第一个不满足的订单编号）。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：每次 check 为 \(O(n + x)\)，二分约 \(\log m\) 次，总复杂度 \(O((n+m)\log m)\)。
   • 空间复杂度：\(O(n+m)\)，存储数组和差分数组。

5. 整数二分 + 差分数组的核心思想：

   • 二分答案的单调性：如果前 \(x\) 个订单可行，则任意 \(x' < x\) 也可行；反之若不可行，则更大的 \(x'\) 也不可行。单调性使二分可行。
   • 差分数组的区间修改：将多个订单的区间叠加需求转化为差分数组上的单点修改，再通过一次前缀和还原每天的总需求量，极大地降低了每次检查的时间成本。
   • 前缀和与差分的关系：差分数组 \(num\) 的前缀和 \(pre[i] = \sum_{j=1}^{i} num[j]\) 即为第 \(i\) 天被占用的教室总数。比较 \(pre[i]\) 与 \(r[i]\) 即可判定是否超量。
   • 适用场景：适用于需要快速判断一系列区间加操作是否超过容量上限的问题，特别是当操作序列具有单调性时，二分答案 + 差分数组是标准解法。

【算法标签】

普及 #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型

// 全局变量声明
int n, m;               // n: 天数，m: 订单数
int r[1000005];         // 每天可用的教室数量
int d[1000005];         // 每个订单需要的教室数
int s[1000005], t[1000005]; // 每个订单的起始和结束天数
int ans;                // 第一个无法满足的订单编号
int num[1000005];       // 差分数组，用于计算每天教室使用量

/**
 * 检查前x个订单是否能被满足
 * @param x 要检查的订单数量
 * @return 是否能满足所有订单需求
 */
bool check(int x)
{
    memset(num, 0, sizeof(num));  // 初始化差分数组

    // 处理前x个订单，构建差分数组
    for (int i = 1; i <= x; i++)
    {
        num[s[i]] += d[i];        // 起始天增加需求
        num[t[i] + 1] -= d[i];   // 结束天+1减少需求
    }

    // 计算前缀和，得到每天的实际使用量
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        num[i] = num[i - 1] + num[i];  // 计算前缀和
        if (num[i] > r[i])             // 如果超过可用教室数
            return false;
    }
    return true;
}

/**
 * 二分查找第一个无法满足的订单
 * @return 最后一个能满足的订单编号
 */
int find()
{
    int l = 0, r = m + 1;  // 初始化二分边界

    // 二分查找过程
    while (l + 1 < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))     // 如果能满足前mid个订单
            l = mid;        // 尝试更大的订单数
        else
            r = mid;        // 否则尝试更小的订单数
    }
    return l;
}

signed main()
{
    // 输入数据
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> r[i];  // 每天可用教室数
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> d[i] >> s[i] >> t[i];  // 订单信息
    }

    // 查找第一个无法满足的订单
    ans = find() + 1;

    // 处理输出结果
    if (ans == m + 1)  // 如果所有订单都能满足
    {
        cout << 0;
    }
    else               // 否则输出第一个无法满足的订单
    {
        cout << -1 << endl << ans << endl;
    }

    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int N = 1000006;  // 定义数组最大长度

// 全局变量声明
int n, m;               // n: 天数，m: 订单数
int r[N];               // 每天可用的教室数量
int d[N], s[N], t[N];   // 订单信息：d[i]需求数，s[i]起始天，t[i]结束天
int ans;                // 第一个无法满足的订单编号
int num[N];             // 差分数组，用于计算每天教室使用量

/**
 * 检查前x个订单是否能被满足
 * @param x 要检查的订单数量
 * @return 是否能满足所有订单需求
 */
bool check(int x)
{
    memset(num, 0, sizeof(num));  // 初始化差分数组

    // 处理前x个订单，构建差分数组
    for (int i = 1; i <= x; i++)
    {
        num[s[i]] += d[i];        // 起始天增加需求
        num[t[i] + 1] -= d[i];    // 结束天+1减少需求
    }

    // 计算前缀和，得到每天的实际使用量
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        num[i] = num[i - 1] + num[i];  // 计算前缀和
        if (num[i] > r[i])             // 如果超过可用教室数
            return false;
    }
    return true;
}

/**
 * 二分查找第一个无法满足的订单
 * @return 最后一个能满足的订单编号
 */
int find()
{
    int l = 0, r = m;  // 初始化二分边界

    // 二分查找过程
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) >> 1;  // 向上取整
        if (check(mid))              // 如果能满足前mid个订单
            l = mid;                 // 尝试更大的订单数
        else
            r = mid - 1;             // 否则尝试更小的订单数
    }
    return l;
}

signed main()
{
    // 输入数据
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> r[i];  // 每天可用教室数

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> d[i] >> s[i] >> t[i];  // 订单信息

    // 查找第一个无法满足的订单
    ans = find() + 1;

    // 处理输出结果
    if (ans == m + 1)  // 如果所有订单都能满足
    {
        cout << 0;
    }
    else                // 否则输出第一个无法满足的订单
    {
        cout << -1 << endl << ans << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

4 3
2 5 4 3
2 1 3
3 2 4
4 2 4
-1
2