题解：洛谷 P1480 AB Problem
【题目来源】
【题目描述】
输入两个整数 \(a,b\)，输出它们的商。
【输入】
两行，第一行是被除数，第二行是除数。
【输出】
一行，商的整数部分。
【输入样例】
10
2
【输出样例】
5
【核心思想】
-
问题分析：给定两个整数 \(a\) 和 \(b\)，其中 \(a\) 可能非常大（长度可达 \(10^5\) 位），\(b\) 是一个普通整数（可用
int或long long存储）。需要计算 \(a\) 除以 \(b\) 的商的整数部分。由于 \(a\) 超出基本数据类型范围，必须使用高精度除法模拟手算竖式除法过程。 -
算法选择：
- 高精度除以低精度：将被除数 \(a\) 以字符串形式读入，逐位处理。从最高位开始，每次将当前余数乘以 10 加上下一位数字，得到当前被除数，除以 \(b\) 得到当前商位，更新余数。最终所有商位组成结果，去除前导零后输出。
- 复杂度：时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为 \(a\) 的位数。
-
关键步骤：
- 读入与存储：将 \(a\) 作为字符串读入，按顺序存入数组（高位在前）或直接遍历字符串。
- 逐位除法：初始化余数 \(r = 0\)。对 \(a\) 的每一位数字 \(d_i\)（从高位到低位）：
- 令当前被除数 \(cur = r \times 10 + d_i\)。
- 当前商位 \(q_i = cur / b\)。
- 更新余数 \(r = cur \% b\)。
- 存储商：将每位商 \(q_i\) 存入结果数组（顺序与输入相同），最后去除前导零（但至少保留一位数字，如商为 0 则输出 0）。
- 输出：输出处理后的商数组。
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n)\)，只需遍历一次被除数。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，存储被除数和商的数组。
-
高精度除法的核心思想：
- 竖式模拟：从高位到低位，每次将余数扩展一位，再用除数去除，得到当前商位，并保留余数给下一位。这完全符合手算除法的过程。
- 只求整数部分：本题只要求商的整数部分，因此处理完所有位后，余数可忽略。
- 前导零处理：结果的高位可能为 0，需在输出前去除，但若商为 0，则需保留一个 0。
- 适用场景：适用于大整数除以小整数的运算，是算法竞赛中高精度除法的标准模板。
【算法标签】
普及- #高精度
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005; // 定义数组最大长度
int A[N], C[N]; // A: 存储被除数（逆序）, C: 存储商
int b, la, lc; // b: 除数, la: 被除数长度, lc: 商长度
string a; // 存储输入的被除数
// 高精度除法函数
void div(int A[], int b, int C[])
{
long long r = 0; // 余数初始化为0
// 从高位到低位进行除法运算
for (int i = la - 1; i >= 0; i--)
{
r = r * 10 + A[i]; // 计算当前被除数
C[la - 1 - i] = r / b; // 计算当前位的商
r %= b; // 计算余数
}
// 将商数组反转（因为之前是逆序存储的）
reverse(C, C + lc);
// 去除商的前导零
while (lc && C[lc] == 0)
lc--;
}
int main()
{
// 输入被除数和除数
cin >> a >> b;
// 初始化被除数长度和商长度
lc = la = a.size();
// 将被除数字符串转换为数字数组（逆序存储）
for (int i = la - 1; i >= 0; i--)
A[la - 1 - i] = a[i] - '0';
// 调用高精度除法函数
div(A, b, C);
// 输出商（从高位到低位）
for (int i = lc; i >= 0; i--)
cout << C[i];
return 0;
}
// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long // 使用长整型
string a; // 存储输入的大整数
int b; // 存储除数
// 高精度除法函数
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) // 参数：被除数数组，除数，余数（引用传递）
{
vector<int> C; // 存储商的数组
r = 0; // 初始化余数为0
// 从高位到低位进行除法运算
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
{
r = r * 10 + A[i]; // 计算当前被除数
C.push_back(r / b); // 计算当前位的商
r %= b; // 计算余数
}
// 反转商数组（因为之前是逆序存储的）
reverse(C.begin(), C.end());
// 去除商的前导零（保留至少一位）
while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
C.pop_back();
return C;
}
signed main()
{
// 输入大整数和除数
cin >> a >> b;
// 将字符串转换为数字数组（逆序存储）
vector<int> A;
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
A.push_back(a[i] - '0');
int r; // 存储余数
// 调用高精度除法函数
auto C = div(A, b, r);
// 输出商（从高位到低位）
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
cout << C[i];
// 如果需要输出余数，可以取消下面注释
// cout << endl << r << endl;
return 0;
}
// 使用老师推荐的板子再写一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, a[100005];
// 检查是否可以将所有长度为a[i]的木棍
// 切割成至少k根长度为x的木棍
bool check(int x)
{
int cnt = 0; // 记录可以切出多少根长度为x的木棍
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cnt += a[i] / x; // 每根木棍可以切出a[i]/x根长度为x的木棍
}
return cnt >= k; // 判断总数量是否足够k根
}
// 二分查找最大可能的x
int find()
{
int l = 0, r = 100000000 + 1; // 开区间(0, 1e8+1]
while (l + 1 < r) // 当区间长度大于1时继续
{
int mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) // 如果mid可行，尝试更大的值
{
l = mid; // 向右收缩
}
else
{
r = mid; // 向左收缩
}
}
return l; // 返回最大的可行值
}
int main()
{
cin >> n >> k; // 输入木棍数量n和需要的段数k
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i]; // 输入每根木棍的长度
}
int ans = find(); // 查找最大长度
cout << ans << endl;
return 0;
}
// 使用acwing的模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n, k, a[N];
// 检查函数：判断是否可以将所有长度为a[i]的木棍
// 切割成至少k根长度为x的木棍
bool check(int x)
{
int cnt = 0; // 记录可以切出多少根长度为x的木棍
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cnt += a[i] / x; // 每根木棍可以切出a[i]/x根长度为x的木棍
}
return cnt >= k; // 判断总数量是否足够k根
}
// 二分查找函数：寻找最大的可行长度x
int find()
{
int l = 0, r = 1000000000; // 查找范围：[0, 1e9]
while (l < r)
{
// 注意：这里是 l+r+1 >> 1，向上取整
int mid = l + r + 1 >> 1; // 等价于 (l+r+1)/2
if (check(mid)) // 如果mid可行
{
l = mid; // 尝试更大的值
}
else
{
r = mid - 1; // 尝试更小的值
}
}
return l; // 返回最大的可行值
}
int main()
{
cin >> n >> k; // 输入木棍数量n和需要的段数k
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i]; // 输入每根木棍的长度
}
int ans = find(); // 查找最大长度
cout << ans << endl;
return 0;
}
【运行结果】
10
2
5
浙公网安备 33010602011771号