题解：洛谷 P3016 The Triangle
【题目来源】
洛谷：P3016 [USACO11FEB] The Triangle S
【题目描述】
农夫 FJ 颁给 Bessie 一个奇怪的奖项，以奖励她前几个月壮观的牛奶产量。他给她一个 \(N\) 行的三角形网格（当然，三角形网格每行是 \(1\) 到 \(N\) 之间递增）。网格中第 \(i\) 行有 \(i\) 个数，数值为 \(v_{i,j}\)（\(-10^9\le v_{i,j}\le 10^9\)），其中 \(j\) 为 \(1\sim i\) 的数列。
Bessie 在这个三角形网格中选择了一个行数至少为 \(K\) 的子三角形网格（\(1 \le K \le N \le 700\)，\(1\le K\le 20\)）。子三角形网格有可能和原来的三角形朝向相反，即子三角形网格朝向的较短行对应原来三角形的较长行。
Bessie 选择完子三角形网格后，FJ 会将子三角形中的所有数值求平均数，并抹除小数，然后给 Bessie 相对应的金币（若平均值为负，则从 Bessie 处拿相应的金币），Bessie 想要取得最大的利益（或最小的代价），请你帮她解决问题
例如，Bessie 获得了一个 \(N=3,K=2\) 的三角形网格。这个问题的图像为:
/ \
/ 5 \
/-8 4\
/2 -3 6\
---------
她可以选择 \(5\) 个子三角形的任意一个
/\
/ \ / \ / \ / \ /5 \
/ 5 \ / \5\ / 5 \ / 5/\ /----\
/-8 4\ /-8 \4\ /-8 4\ /-8/ 4\ /\-8 4/\
/2 -3 6\ / 2 -3\6\ /-------\ / 2/-3 6\ / 2\-3/6 \
--------- --------- -2 -3 6 --------- ----------
三角形 左下 顶部 右下 中间
整体
这是平均值最大的一组:
/ \
/ 5/\
/-8/ 4\
/ 2/-3 6\
---------
这个子三角形的平均值为 \((4-3+6)\div3\)，等于 \(2.\dot3\)（即 \(2.333\dots\)），所以答案为 \(2\)。
帮助 Bessie 求出她可获得金币的最大值。
【输入】
- 第一行两个用空格隔开的正整数 \(N,K\)。
- 第 \(2\sim N\) 行，\(i+1\) 行输入 \(i\) 个用空格隔开的整数 \(v_{i,j}\)。
【输出】
- 一行，输出 Bessie 得到的金币最大值（可能为负）。
【输入样例】
3 2
5
-8 4
2 -3 6
【输出样例】
2
【核心思想】
-
问题分析：给定一个 \(N\) 行三角形网格（第 \(i\) 行有 \(i\) 个数），需要选择一个行数至少为 \(K\) 的子三角形（可正立或倒立），使得子三角形内所有数的平均值（向下取整）最大。要求输出最大平均值（整数部分）。\(N \le 700\)，\(K \le 20\)，数值范围 \(\pm 10^9\)，结果可能为负。本质是一个二维前缀和 + 枚举扩展问题，由于 \(N\) 较小，可以通过枚举子三角形的顶点位置，并逐步扩展高度，利用行前缀和快速计算区域和，动态维护当前子三角形的元素总和与个数，从而在 \(O(N^3)\) 时间内求出最大值。
-
算法选择：
- 行前缀和：预处理每行的前缀和
sa[i][j]，以便 \(O(1)\) 计算某行任意连续区间的和。 - 枚举顶点 + 动态扩展：分别枚举正立和倒立子三角形的“顶点”位置，然后从最小高度 \(K\) 开始，逐行增加高度，每次累加新加入行的区间和，更新元素总数和总和，计算当前平均值的整数部分并更新答案。
- 复杂度：枚举顶点数 \(O(N^2)\)，每个顶点最多扩展 \(O(N)\) 层，总操作 \(O(N^3)\)，\(N=700\) 时约 \(3.4\times10^8\) 次简单运算，在 C++ 中可接受。
- 行前缀和：预处理每行的前缀和
-
关键步骤：
- 读入与预处理：读入 \(N, K\) 和三角形数组 \(a[i][j]\)（\(1 \le j \le i\)），计算每行的前缀和
sa[i][j]。 - 枚举正立（朝上）子三角形：
- 顶部顶点为 \((i, j)\)（第 \(i\) 行第 \(j\) 列），\(i\) 从 \(1\) 到 \(N-K+1\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(i\)。
- 初始化当前子三角形的元素总和
tot = 0，当前高度h = 0。 - 逐行向下扩展：\(h\) 从 \(1\) 开始，直到 \(i+h-1 \le N\)。对于第 \(r\) 行（\(r = i+h-1\)），该行在子三角形中的列范围为 \([j, j+h-1]\)，利用前缀和计算该区间和，累加到
tot。 - 当前子三角形的元素个数为
cnt = h*(h+1)/2。 - 若 \(h \ge K\)，计算平均值整数部分
tot / cnt，更新答案。
- 枚举倒立（朝下）子三角形：
- 底部顶点为 \((i, j)\)（第 \(i\) 行第 \(j\) 列），要求 \(i \ge 2K-1\)，且 \(j\) 满足 \(j \ge K\) 且 \(i-K+1 \ge j\)（以保证上方的行有足够的列）。
- 初始化
tot = 0，h = 0。 - 逐行向上扩展：\(h\) 从 \(1\) 开始，直到 \(i-h+1 \ge 1\) 且 \(j-h+1 \ge 1\)。对于第 \(r\) 行（\(r = i-h+1\)），该行在子三角形中的列范围为 \([j-h+1, j]\)，利用前缀和计算区间和，累加到
tot。 - 当前子三角形元素个数为
cnt = h*(h+1)/2。 - 若 \(h \ge K\)，更新答案。
- 输出：最终答案
ans（可能为负数）。
- 读入与预处理：读入 \(N, K\) 和三角形数组 \(a[i][j]\)（\(1 \le j \le i\)），计算每行的前缀和
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N^3)\)，\(N \le 700\)，约 \(3.4\times10^8\) 次操作，常数较小，可接受。
- 空间复杂度：\(O(N^2)\)，存储三角形数组和前缀和。
-
枚举 + 前缀和的核心思想：
- 行前缀和加速求和：对于每行，预处理前缀和，使任意连续子段和能在 \(O(1)\) 时间内得到，避免内层循环重复计算。
- 动态扩展维护：枚举顶点后，通过逐层增加高度，每次只累加新加入的一行，维护总和与元素个数，避免了重新计算整个子三角形的开销。
- 正立与倒立统一处理：正立和倒立子三角形只需调整扩展方向和列范围即可，逻辑对称。
- 整数平均：由于要求向下取整，直接用整数除法
sum / cnt，无需浮点数。 - 边界条件：倒立三角形的列范围需保证 \(j-h+1 \ge 1\)，且 \(i-h+1 \ge j\)，确保子三角形完全位于原三角形内。
- 适用于小规模网格中求所有定向子三角形平均值最值的问题。
【算法标签】
普及 #前缀和
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long // 使用 long long 避免溢出
const int N = 705; // 最大网格规模
int n, m; // n: 三角形行数, m: 子三角形最小行数（即 K）
int ans = -1e18; // 最终答案（最大平均值的整数部分）
int a[N][N]; // 原始三角形数值
int sa[N][N]; // sa[i][j] 表示第 i 行前 j 个数的前缀和
signed main()
{
cin >> n >> m; // 输入 N 和 K
// 读入三角形并构建每行的前缀和
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= i; j++)
{
cin >> a[i][j];
sa[i][j] = sa[i][j - 1] + a[i][j];
}
}
// ---- 枚举所有正立（朝上）的子三角形 ----
// 子三角形的顶部顶点为 (i, j)，即第 i 行第 j 个元素
for (int i = 1; i + m - 1 <= n; i++) // 顶部所在行，需保证能放下至少 m 行
{
for (int j = 1; j <= i; j++) // 顶部在该行的列位置
{
int tot = 0; // 当前子三角形的元素总和
// 前 m-1 行（即最小行数的前几行），每行元素个数逐渐增加
// 对于行号 row = i + k - 1，该行对应的列范围是从 j 到 j + k - 1
for (int k = 1; k < m; k++)
{
int row = i + k - 1;
int col = j + k - 1;
tot += sa[row][col] - sa[row][j - 1];
}
// 从第 m 行开始，子三角形的行数可以继续增大（k 表示当前处理的行号偏移，即总行数 = k）
// 注意循环条件保证行数不超过 n
for (int k = m; i + k - 1 <= n; k++)
{
int row = i + k - 1;
int col = j + k - 1;
tot += sa[row][col] - sa[row][j - 1]; // 累加当前行的和
int cnt = k * (k + 1) / 2; // 当前子三角形的元素个数（第 k 行有 k 个元素）
ans = max(ans, tot / cnt); // 更新最大值（整除，即向下取整的平均值）
}
}
}
// ---- 枚举所有倒立（朝下）的子三角形 ----
// 倒立三角形的“顶部”（实际是最底部的行）为 (i, j)，即第 i 行第 j 个元素，
// 且 j 应位于该行的中间偏右位置，以保证三角形有 m 行
for (int i = 2 * m - 1; i <= n; i++) // 至少需要 2*m-1 行才能构成一个倒立三角形（从 i-m+1=m 开始，保证顶端那行有 m 列)
{
for (int j = m; i - m + 1 >= j; j++) // j 的范围保证上方有足够的列（每行行数和列数应该相同）
{
int tot = 0; // 当前子三角形的元素总和
// 前 m-1 行（从底部往上数），每行元素个数逐渐减少
// 对于行号 row = i - k + 1，该行对应的列范围是从 col 到 j
for (int k = 1; k < m; k++)
{
int row = i - k + 1;
int col = j - k + 1;
tot += sa[row][j] - sa[row][col - 1];
}
// 从第 m 行开始，继续向上扩展行数
for (int k = m; j - k + 1 >= 1 && i - k + 1 >= j; k++)
{
int row = i - k + 1;
int col = j - k + 1;
tot += sa[row][j] - sa[row][col - 1]; // 累加当前行的和
int cnt = k * (k + 1) / 2; // 当前子三角形的元素个数
ans = max(ans, tot / cnt); // 更新最大值
}
}
}
cout << ans << endl; // 输出最大金币数（平均值向下取整）
return 0;
}
【运行结果】
3 2
5
-8 4
2 -3 6
2
浙公网安备 33010602011771号