题解：洛谷 P5743 猴子吃桃

【题目来源】

洛谷：P5743 【深基7.习8】猴子吃桃 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

一只小猴买了若干个桃子。第一天他刚好吃了这些桃子的一半，又贪嘴多吃了一个；接下来的每一天它都会吃剩余的桃子的一半外加一个。第 \(n\) 天早上起来一看，只剩下 \(1\) 个桃子了。请问小猴买了几个桃子？

【输入】

输入一个正整数 \(n\)，表示天数。

【输出】

输出小猴买了多少个桃子。

【输入样例】

4

【输出样例】

22

【核心思想】

1. 问题分析：猴子每天吃掉当前桃子数的一半再多吃一个，第 \(n\) 天早上醒来时只剩下 1 个桃子。问最初有多少个桃子。这是一个递推/逆推问题，可以通过反向递推解决。

2. 算法选择：

   • 逆推法：第 \(n\) 天剩余 1 个桃子。每天（从第 \(n-1\) 天到第 1 天）的桃子数 \(x\) 满足：当天吃掉 \(\frac{x}{2}+1\) 个，剩余 \(x - (\frac{x}{2}+1) = \frac{x}{2}-1\) 个桃子。因此，若当天剩余 \(r\) 个桃子，则前一天有 \(x = 2 \times (r + 1)\) 个桃子。从第 \(n\) 天剩余 1 个开始，向前递推 \(n-1\) 次即可得到最初的桃子数。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(n\)。
   • 初始化：peach = 1（第 \(n\) 天早上的桃子数）。
   • 逆推循环：重复 \(n-1\) 次：peach = (peach + 1) * 2。
   • 输出：输出 peach。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 递推与逆推：

   • 逆推公式：\(f(i) = 2 \times (f(i+1) + 1)\)，其中 \(f(i)\) 表示第 \(i\) 天开始时的桃子数。
   • 终止条件：\(f(n) = 1\)。
   • 适用场景：这类“正向过程已知，逆向求初始值”的问题，适合用逆推法。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int main()
{
    int n;               // 定义变量：天数n
    int peach = 1;       // 定义变量：初始桃子数量（第n天剩余1个）

    cin >> n;            // 输入天数n

    // 逆向推导第1天的桃子数量
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        peach += 1;      // 先补回猴子吃掉的那个桃子
        peach *= 2;      // 恢复到前一天的桃子数量（翻倍）
    }

    cout << peach;       // 输出第1天的桃子数量

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

4
22