题解：洛谷 P3015 Best Parenthesis

【题目来源】

洛谷：P3015 [USACO11FEB] Best Parenthesis S

【题目描述】

给定一个只包含左右括号的字符串，得分规则如下：

如果一对括号内没有括号，那么这对括号的得分为1；如果两对括号互不包含（即并列存在），那这两对括号的得分相加；如果括号内包含一对括号，那么这个括号的得分记为内部括号序列的得分 \(\times 2\)。

例如：对于这样一个字符串：() ()，两对括号并列存在，则得分为 \(1+1=2\);

而对于这样一个字符串：(())，最外层的括号内层包含一对括号，则得分为 \(2 \times 1 = 2\)。

Bessie 想击败所有同事的牛，所以她需要计算某个字符串的评分。给定一个长度为 \(n\) 、只包含括号的字符串（\(2 \le N \le 100000\)），计算其得分帮助 Bessie。

【输入】

第一行，输入一个整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行一个数字，如果是 \(0\)，表示这个字符是 (；如果是 \(1\)，表示这个字符是 )。

【输出】

字符串的分数，由于数字可能会变得很大，所以对 \(12345678910\) 取模。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定一个长度为 \(N\)（\(N \le 10^5\)）的括号序列，其中字符 0 代表左括号 (，字符 1 代表右括号 )。根据规则计算得分：空括号 () 得 \(1\) 分；并列括号得分相加；嵌套括号的得分为内部得分 \(\times 2\)。需要对结果取模 \(12345678910\)。本质是括号匹配与树形结构计算问题，可以用栈模拟括号的嵌套和并列关系。
算法选择：
- 栈模拟：维护一个栈，每个元素存储当前层的累计得分和是否包含过括号的标记。遇到左括号时压入新层（得分 0，标记 false）；遇到右括号时弹出栈顶，计算当前括号对的得分：
  - 若该层内部未包含括号（标记为 false），则当前括号对为空，得分为 \(1\)。
  - 若内部包含括号，则得分为 内部得分 * 2。
- 然后将当前括号对的得分加到新的栈顶元素的累计得分中（表示并列相加），并标记新栈顶为已包含括号。
- 最后栈底元素即为总得分。
关键步骤：
- 读入与转换：读取 \(N\)，逐个读入数字（0 或 1）。
- 栈初始化：stk.push({0, false})，作为总得分的容器。
- 处理左括号（0）：压入新层 {0, false}。
- 处理右括号（1）：
  - 弹出栈顶 cur。
  - 计算当前层得分：score = cur.second ? (2 * cur.first) % mod : 1。
  - 将 score 加到当前栈顶的累计得分上：stk.top().first = (stk.top().first + score) % mod。
  - 标记当前栈顶为包含括号：stk.top().second = true。
- 输出：栈底元素的 first 即为答案。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N)\)，每个字符入栈或出栈一次。
- 空间复杂度：\(O(N)\)，栈在最坏情况下存储 \(N\) 个元素。
栈模拟括号树的核心思想：
- 括号层次结构：括号序列天然形成一棵树，每对括号是一个节点，并列关系对应兄弟节点，嵌套关系对应父子节点。
- 栈的层叠性：用栈的压入和弹出模拟树的深度优先遍历，每个栈帧存储当前节点的累计得分和是否包含子节点。
- 得分规则转换：空括号 () 对应叶子节点，得分为 1；嵌套括号对应父节点，得分为 子节点得分 * 2；并列括号对应兄弟节点，得分相加。
- 取模处理：由于得分可能极大，每次加法后立即对 \(12345678910\) 取模。
- 适用场景：适用于括号序列的解析和计算，特别是涉及嵌套和并列复杂度的表达式求值。

【算法标签】

普及 #栈

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 12345678910;    // 取模数

int n;
stack<pair<int, bool>> stk;     // 栈元素：first为当前段累计得分，second表示该段内是否已经包含括号

signed main()
{
    cin >> n;

    // 栈底放入一个初始元素，作为最终总得分的容器
    stk.push({0, false});

    // 逐个读入字符：0 代表 '('，1 代表 ')'
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;

        // 左括号：压入新的一层，初始得分0，且尚未包含内部括号
        if (x == 0)
        {
            stk.push({0, false});
        }
        // 右括号：处理当前最内层括号
        else
        {
            auto cur = stk.top();   // 当前层（被右括号闭合的括号对）
            stk.pop();

            // 如果该层内部已经包含括号（即 cur.second == true），
            // 则当前括号对的得分为内部得分乘以2；
            // 否则该括号对为空，得分为1
            int score = cur.second ? (2 * cur.first) : 1;

            // 将当前括号对的得分加入到外层（新栈顶）的累计得分中，
            // 因为并列括号得分相加
            stk.top().first = (stk.top().first + score) % mod;

            // 标记外层已经包含了至少一个括号（即内部不为空）
            stk.top().second = true;
        }
    }

    // 栈底元素存储了整个字符串的总得分
    cout << stk.top().first << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-09-01 09:25 团爸讲算法阅读(8) 评论(0) 收藏举报

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普及 #栈

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