题解：洛谷 P5731 蛇形方阵

【题目来源】

洛谷：P5731 【深基5.习6】蛇形方阵 - 洛谷

【题目描述】

给出一个不大于 \(9\) 的正整数 \(n\)，输出 \(n\times n\) 的蛇形方阵。

从左上角填上 \(1\) 开始，顺时针方向依次填入数字，如同样例所示。注意每个数字有都会占用 \(3\) 个字符，前面使用空格补齐。

【输入】

输入一个正整数 \(n\)，含义如题所述。

【输出】

输出符合题目要求的蛇形矩阵。

【输入样例】

4

【输出样例】

  1  2  3  4
 12 13 14  5
 11 16 15  6
 10  9  8  7

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个不大于 9 的正整数 \(n\)，需要生成一个 \(n \times n\) 的螺旋方阵，从左上角（1,1）开始，按顺时针方向（右→下→左→上）依次填入数字 1 到 \(n^2\)，每个数字占 3 个字符宽度（右对齐）。本质是一个矩阵螺旋遍历问题，通常使用方向控制或“撞墙转向”的方法模拟。

2. 算法选择：

   • 撞墙转向模拟：从起始点开始，按照“右、下、左、上”的循环方向前进，每次尝试沿当前方向走一步，如果下一步超出边界或已经填过数字，则顺时针转向。这种方法直观且易于实现，适合 \(n \le 9\) 的小规模矩阵。

3. 关键步骤：

   • 初始化：读入 \(n\)，初始化 \(n \times n\) 的二维数组 a 为 0，设置当前位置 (x, y) = (1, 1)，填入数字 1，mark = 1。
   • 填充循环：当 mark < n * n 时：
     • 向右：尝试 y+1，若 y+1 <= n 且 a[x][y+1] == 0，则 y++，mark++，填入 mark；否则停止向右。
     • 向下：尝试 x+1，若 x+1 <= n 且 a[x+1][y] == 0，则 x++，mark++，填入 mark；否则停止向下。
     • 向左：尝试 y-1，若 y-1 >= 1 且 a[x][y-1] == 0，则 y--，mark++，填入 mark；否则停止向左。
     • 向上：尝试 x-1，若 x-1 >= 1 且 a[x-1][y] == 0，则 x--，mark++，填入 mark；否则停止向上。
   • 输出：使用 setw(3) 设置每个数字的输出宽度为 3，确保格式对齐。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2)\)，需要填充 \(n^2\) 个数字。
   • 空间复杂度：\(O(n^2)\)，用于存储矩阵。

5. 模拟与矩阵遍历：

   • 方向控制：代码采用“while + 四个方向内嵌 while”的方式，每个方向持续走到不能走为止，然后自然转向下一个方向。这依赖于数组初始为 0 来标记未填区域，以及边界检查。
   • 边界与已填检查：在尝试前进时，必须同时检查边界和是否已填，以防止走出矩阵或覆盖已填数字。
   • 输出格式：每个数字占 3 个字符，用 setw(3) 可以实现右对齐，不足三位时前面补空格。
   • 适用场景：螺旋矩阵生成是经典的模拟题，常用于练习二维数组遍历和边界条件控制。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int main()
{
    int n;               // 定义变量：矩阵的维度
    int a[15][15] = {0}; // 定义二维数组：存储螺旋矩阵，初始化为0
    int x = 1, y = 1;    // 定义变量：当前位置坐标（初始为1,1）
    int mark = 1;        // 定义变量：当前要填入的数字

    cin >> n;            // 输入矩阵维度

    a[x][y] = mark;      // 初始化第一个位置

    // 螺旋填充矩阵，直到填满n×n个数
    while (mark < n * n)
    {
        // 一直往右走，直到遇到边界或已填充的位置
        while (a[x][y + 1] == 0 && y + 1 <= n)
        {
            y++;
            mark++;
            a[x][y] = mark;
        }

        // 一直往下走，直到遇到边界或已填充的位置
        while (a[x + 1][y] == 0 && x + 1 <= n)
        {
            x++;
            mark++;
            a[x][y] = mark;
        }

        // 一直往左走，直到遇到边界或已填充的位置
        while (a[x][y - 1] == 0 && y - 1 >= 1)
        {
            y--;
            mark++;
            a[x][y] = mark;
        }

        // 一直往上走，直到遇到边界或已填充的位置
        while (a[x - 1][y] == 0 && x - 1 >= 1)
        {
            x--;
            mark++;
            a[x][y] = mark;
        }
    }

    // 输出螺旋矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            cout << setw(3) << a[i][j];  // 设置输出宽度为3，保持对齐
        }
        cout << endl;                    // 每行结束换行
    }

    return 0;                            // 程序正常结束
}

【运行结果】

4
  1  2  3  4
 12 13 14  5
 11 16 15  6
 10  9  8  7