题解：洛谷 P5461 赦免战俘

【题目来源】

洛谷：P5461 赦免战俘 - 洛谷

【题目描述】

现有 \(2^n\times2^n(n\le10)\) 名作弊者站成一个正方形方阵等候 kkksc03 的发落。kkksc03 决定赦免一些作弊者。他将正方形矩阵均分为 \(4\) 个更小的正方形矩阵，每个更小的矩阵的边长是原矩阵的一半。其中左上角那一个矩阵的所有作弊者都将得到赦免，剩下 \(3\) 个小矩阵中，每一个矩阵继续分为 \(4\) 个更小的矩阵，然后通过同样的方式赦免作弊者……直到矩阵无法再分下去为止。所有没有被赦免的作弊者都将被处以棕名处罚。

给出 \(n\)，请输出每名作弊者的命运，其中 \(0\) 代表被赦免，\(1\) 代表不被赦免。

【输入】

一个整数 \(n\)。

【输出】

\(2^n\times2^n(n\le10)\) 的 \(01\) 矩阵，代表每个人是否被赦免。数字之间有一个空格。

【输入样例】

3

【输出样例】

0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\)，生成一个 \(2^n \times 2^n\) 的 01 矩阵。规则是：将当前正方形矩阵均分为 4 个等大小的子矩阵，左上角子矩阵全部置为 0（赦免），其余三个子矩阵递归执行同样的操作，直到大小为 1 时停止（此时该位置置为 1？需根据输出理解：最终未被赦免的为 1）。本质是一个递归分形填充问题，类似“谢尔宾斯基三角形”的方形版本。

2. 算法选择：

   • 递归分治：函数 f(x, y, len) 处理左上角为 (x, y)、边长为 len 的正方形。若 len == 1，直接返回（或设置该点为 1）；否则将左上角 len/2 × len/2 区域全部置为 0（赦免），然后对右上、左下、右下三个子区域递归调用（继续处理，这些区域最终会保留 1）。
   • 实现细节：代码中递归函数 fzdg 在 len == 1 时直接返回，未显式设置 1，但最终未标记为 0 的位置默认输出 1（因为数组初始化为 0，而输出时 a[i][j]==1 输出 0，否则输出 1）。实际上，递归过程只负责将左上区域置为 1（标记为“填充/赦免”），其余保持 0，最后输出时反转。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(n\)，计算边长 len = 2^n。
   • 递归标记：solve(1, 1, len)，将左上角 len/2 × len/2 区域全部置为 1（表示被赦免，输出为 0），然后递归处理其他三个子区域。
   • 输出：按行输出矩阵，若 a[i][j] == 1 则输出 0，否则输出 1。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(4^n)\)，即矩阵大小 \(2^n \times 2^n\)，每个位置被访问常数次。
   • 空间复杂度：\(O(4^n)\)，存储矩阵。

5. 递归与分治：

   • 分治结构：每次将问题规模缩小为原来的 1/2，处理三个子问题，符合分治思想。
   • 递归终止：当边长为 1 时，无法再分，递归结束。
   • 反向输出：代码中通过 a 数组标记被赦免区域，最后输出时反转，这是常见的技巧。
   • 适用场景：这类“递归填充矩阵”问题，是练习分治和递归的好例子，也常见于分形几何的模拟。

【算法标签】

普及 #递归

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int a[1100][1100];        // 定义二维数组：存储分形图案

/**
 * 递归生成分形图案
 * @param x 当前区域左上角的x坐标
 * @param y 当前区域左上角的y坐标
 * @param z 当前区域的边长
 * @return 无返回值
 */
int fzdg(int x, int y, int z)
{
    if (z == 1)           // 基本情况：最小单元直接返回
    {
        return 0;
    }

    // 填充当前区域左上角的1/4区域
    for (int i = x; i < x + z / 2; i++)
    {
        for (int j = y; j < y + z / 2; j++)
        {
            a[i][j] = 1;  // 标记为填充区域
        }
    }

    // 递归处理其他三个1/4区域
    fzdg(x + z / 2, y, z / 2);          // 右上区域
    fzdg(x, y + z / 2, z / 2);          // 左下区域
    fzdg(x + z / 2, y + z / 2, z / 2);  // 右下区域
}

int main()
{
    int n;                // 定义变量：分形迭代次数
    int fz;               // 定义变量：分形图案边长

    cin >> n;             // 输入迭代次数

    fz = pow(2, n);       // 计算分形图案边长（2的n次方）

    fzdg(1, 1, fz);       // 从(1,1)开始生成分形图案

    // 输出分形图案（0表示填充，1表示空白）
    for (int i = 1; i <= fz; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= fz; j++)
        {
            if (a[i][j] == 1)
                cout << "0 ";  // 填充区域输出0
            else
                cout << "1 ";  // 空白区域输出1
        }
        cout << endl;          // 每行结束换行
    }

    return 0;                  // 程序正常结束
}

【运行结果】

3
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1