题解：洛谷 P5143 攀爬者

【题目来源】

洛谷：P5143 攀爬者 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

HKE 考完 GDOI 之后跟他的神犇小伙伴们一起去爬山。

他在地形图上标记了 \(N\) 个点，每个点 \(P_i\) 都有一个坐标 \((x_i,y_i,z_i)\)。所有点对中，高度值 \(z\) 不会相等。HKE 准备从最低的点爬到最高的点，他的攀爬满足以下条件：

(1）经过他标记的每一个点；

(2）从第二个点开始，他经过的每一个点高度 \(z\) 都比上一个点高；

(3) HKE 会飞，他从一个点 \(P_i\) 爬到 \(P_j\) 的距离为两个点的欧几里得距离。即，

现在，HKE 希望你能求出他攀爬的总距离。

【输入】

第一行，一个整数 \(N\) 表示地图上的点数。

接下来 \(N\) 行，三个整数 \(x_i,y_i,z_i\) 表示第 \(i\) 个点的坐标。

【输出】

一个实数，表示 HKE 需要攀爬的总距离（保留三位小数）

【输入样例】

5
2 2 2
1 1 1
4 4 4
3 3 3
5 5 5

【输出样例】

6.928

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个三维空间中的点，每个点的高度 \(z\) 互不相同。需要从高度最低的点出发，依次经过所有点，且高度严格递增（即按 \(z\) 从小到大访问）。要求计算总欧几里得距离。由于访问顺序由高度唯一确定（按 \(z\) 升序），只需将点按 \(z\) 排序，然后依次计算相邻点的距离并累加。

2. 算法选择：

   • 结构体 + 排序：定义结构体存储 \(x, y, z\) 坐标。按 \(z\) 从小到大排序。然后遍历排序后的数组，累加相邻点之间的三维欧几里得距离。
   • 复杂度：时间复杂度 \(O(N \log N)\)，空间复杂度 \(O(N)\)。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(N\) 和每个点的坐标。
   • 排序：按 \(z\) 升序排序。
   • 距离累加：循环 \(i\) 从 1 到 \(N-1\)，计算 sqrt((x_i-x_{i+1})^2 + (y_i-y_{i+1})^2 + (z_i-z_{i+1})^2) 并累加。
   • 输出：保留三位小数输出总距离。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)。
   • 空间复杂度：\(O(N)\)。

5. 排序与路径：

   • 唯一路径：由于高度互不相同，按 \(z\) 排序后，访问顺序是唯一的，无需额外搜索。
   • 欧几里得距离：使用三维距离公式计算。
   • 适用场景：这类“按某一维度排序后求路径总长”的问题，是排序的简单应用。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #其他排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含常用的头文件
using namespace std;

// 定义山峰结构体，包含三维坐标 (x, y, z)
struct mountain {
    int x, y, z;
}m[50005];  // 定义一个最多可以存储50005座山峰的数组

// 自定义比较函数，用于排序
bool cmp(mountain x, mountain y)
{
    // 按 z 坐标从小到大排序
    return x.z < y.z;
}

int n;         // n: 山峰的总数
double dis = 0; // dis: 总距离，用于存储所有相邻山峰之间的距离之和

int main()
{
    // 输入山峰的总数 n
    cin >> n;

    // 输入每座山峰的三维坐标 (x, y, z)
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> m[i].x >> m[i].y >> m[i].z;
    }

    // 对山峰数组按 z 坐标从小到大排序
    sort(m+1, m+n+1, cmp);

    // 计算相邻山峰之间的三维欧几里得距离，并累加到总距离 dis 中
    for (int i=1; i<n; i++) {
        dis += sqrt(
            (m[i].x - m[i+1].x) * (m[i].x - m[i+1].x) +  // x 坐标差的平方
            (m[i].y - m[i+1].y) * (m[i].y - m[i+1].y) +  // y 坐标差的平方
            (m[i].z - m[i+1].z) * (m[i].z - m[i+1].z)    // z 坐标差的平方
        );
    }

    // 输出总距离，保留三位小数
    printf("%.3f", dis);

    return 0;  // 程序结束
}

【运行结果】

5
2 2 2
1 1 1
4 4 4
3 3 3
5 5 5
6.928