题解：洛谷 P4924 魔法少女小Scarlet

【题目来源】

洛谷：P4924 [1007] 魔法少女小Scarlet - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

Scarlet 最近学会了一个数组魔法，她会在 \(n\times n\) 二维数组上将一个奇数阶方阵按照顺时针或者逆时针旋转 \(90°\)。

首先，Scarlet 会把 \(1\) 到 \(n^2\) 的正整数按照从左往右，从上至下的顺序填入初始的二维数组中，然后她会施放一些简易的魔法。

Scarlet 既不会什么分块特技，也不会什么 Splay 套 Splay，她现在提供给你她的魔法执行顺序，想让你来告诉她魔法按次执行完毕后的二维数组。

【输入】

第一行两个整数 \(n,m\)，表示方阵大小和魔法施放次数。

接下来 \(m\) 行，每行 \(4\) 个整数 \(x,y,r,z\)，表示在这次魔法中，Scarlet 会把以第 \(x\) 行第 \(y\) 列为中心的 \(2r+1\) 阶矩阵按照某种时针方向旋转，其中 \(z=0\) 表示顺时针，\(z=1\) 表示逆时针。

【输出】

输出 \(n\) 行，每行 \(n\) 个用空格隔开的数，表示最终所得的矩阵

【输入样例】

【输出样例】

5 10 3 18 15
4 19 8 17 20
1 14 23 24 25
6 9 2 7 22
11 12 13 16 21

【核心思想】

问题分析：给定一个 \(n \times n\) 的矩阵，初始时按从左到右、从上到下的顺序填入 \(1\) 到 \(n^2\)。然后进行 \(m\) 次操作，每次操作以 \((x, y)\) 为中心，将半径 \(r\) 的 \(2r+1\) 阶方阵（奇数阶）顺时针或逆时针旋转 \(90^\circ\)。需要输出最终矩阵。本质是矩阵子区域旋转模拟，关键在于推导旋转前后坐标的映射关系。
算法选择：
- 直接模拟旋转：对于每次操作，遍历子区域，根据旋转方向计算新坐标，将原值赋给临时数组，再写回原矩阵。
- 坐标变换公式：
  - 顺时针旋转 \(90^\circ\)：新坐标 (i', j') 对应原坐标 (x + y - j, y - x + i)。
  - 逆时针旋转 \(90^\circ\)：新坐标 (i', j') 对应原坐标 (x - y + j, x + y - i)。
- 复杂度：每次操作时间复杂度 \(O(r^2)\)，总复杂度 \(O(m \cdot r^2)\)，由于 \(n \le 500\)，完全可行。
关键步骤：
- 初始化矩阵：用 mark 从 1 到 \(n^2\) 按行填充。
- 旋转函数：rotate(x, y, r, dir)：
  - 创建临时数组 tmp[505][505]。
  - 遍历子区域 i 从 \(x-r\) 到 \(x+r\)，j 从 \(y-r\) 到 \(y+r\)：
    - 若 dir == 0（顺时针）：tmp[i][j] = a[x + y - j][y - x + i]。
    - 若 dir == 1（逆时针）：tmp[i][j] = a[x - y + j][x + y - i]。
  - 将 tmp 对应区域复制回 a。
- 输出：按行输出矩阵。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2 + m \cdot r^2)\)。
- 空间复杂度：\(O(n^2)\)。
矩阵旋转与坐标映射：
- 中心坐标：操作以 \((x, y)\) 为中心，子区域坐标为 \([x-r, x+r] \times [y-r, y+r]\)。
- 公式推导：顺时针旋转时，原坐标 (i, j) 旋转后变为 (x + y - j, y - x + i)，这是根据旋转矩阵推导的结果。
- 临时数组：由于旋转需要读取原值并写入新位置，必须使用临时数组存储结果，避免覆盖未处理的元素。
- 适用场景：这类“矩阵子区域旋转”问题，是模拟题中较为复杂的类型，考查坐标变换和数组操作。

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 旋转函数：对矩阵中以 (x, y) 为中心，边长为 2r+1 的正方形区域进行旋转
void xuanzhuan(int x, int y, int r, int z, int a[505][505])
{
    int b[505][505];  // 临时数组，用于存储旋转后的结果

    // 遍历以 (x, y) 为中心，边长为 2r+1 的正方形区域
    for (int i = x - r; i <= x + r; i++)
	{
        for (int j = y - r; j <= y + r; j++)
		{
            if (z == 0)
			{
                // 顺时针旋转 90 度
                b[i][j] = a[x + y - j][y - x + i];
            }
			else
			{
                // 逆时针旋转 90 度
                b[i][j] = a[x - y + j][x + y - i];
            }
        }
    }

    // 将旋转后的结果复制回原数组
    for (int i = x - r; i <= x + r; i++)
        for (int j = y - r; j <= y + r; j++)
            a[i][j] = b[i][j];
}

int main() {
    int n, m;  // n 表示矩阵的大小，m 表示旋转操作的次数
    int a[505][505];  // 定义矩阵，最大大小为 505x505
    int x, y, r, z;   // x 和 y 表示旋转中心，r 表示旋转半径，z 表示旋转方向
    int mark = 1;     // 用于初始化矩阵的值

    cin >> n >> m;  // 输入矩阵大小 n 和旋转操作次数 m

    // 初始化矩阵，填充从 1 到 n*n 的连续整数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
        for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
            a[i][j] = mark;
            mark++;
        }
    }

    // 处理每个旋转操作
    for (int i = 0; i < m; i++)
	{
        cin >> x >> y >> r >> z;  // 输入旋转中心 (x, y)、半径 r 和方向 z
        xuanzhuan(x, y, r, z, a);  // 调用旋转函数
    }

    // 输出最终的矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            cout << a[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

5 4
2 2 1 0
3 3 1 1
4 4 1 0
3 3 2 1
5 10 3 18 15
4 19 8 17 20
1 14 23 24 25
6 9 2 7 22
11 12 13 16 21

posted @ 2026-08-31 09:26 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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