题解：洛谷 P3001 Big Macs Around the World
【题目来源】
洛谷：P3001 [USACO10DEC] Big Macs Around the World G
【题目描述】
Bessie 正在学习她最喜欢的科目宏观经济学，作为她最后一门学科，她将对世界各种货币的汇率进行研究。
为了让她的演讲更加生动，她会展示一个叫做 BM 的商品在全世界的相对价格。举个例子，Bessie 会通过其他国家的汇率去找到一件 BM 在一个国家的最小价值。
- 一件 BM 在美国值 \(60\) 美元；
- 美元与加拿大元的汇率为 \(1\) 美元换 \(0.2\) 加拿大元（\(1:0.2\)）。
- 美元与英镑的汇率为 \(1\) 美元换 \(5\) 英镑（\(1:5\)）。
- 英镑与加拿大元的汇率为 \(1\) 英镑换 \(0.5\) 加拿大元（\(1:0.5\)）。
- 加拿大元与美元的汇率是 \(5\) 美元换一加拿大元（\(5:1\)），Bessie 有两种方法通过货币兑换在加拿大这个国家找到一件 BM 的最低价值：
- 拿着美元直接去加拿大，通过汇率得出一件 BM 只要 \(12\) 加拿大元；
- 拿着美元去英国，兑换为英镑后再去加拿大，得出一件 BM 要 \(150\) 加拿大元。
Bessie 会选择前一种方案因为她更乐意为在加拿大买一件 BM 支付 \(12\) 加元而不是 \(150\) 加元。
Bessie 有 \(N(1\leq N\leq 2000)\) 个国家的信息和 \(M(1\leq M\leq25000)\) 种汇率，在 \(i,j\) 国间的汇率表示为 \(e_{ij}(0.1\leq e_{ij}\leq 10)\)。
给你一个值 \(V(1\leq V\leq 10^{12})\)，\(V\) 不一定是一个整数。\(V\) 是 BM 在起始国家 A 的价格，帮助 Bessie 寻找到在 B 国 BM 最低的价格，如果不存在，则输出 \(0\)。
据保证答案小于 \(10^{15}\)，也保证所有国家都可以通过汇率将钱币转为别的国家的。
【输入】
第 \(1\) 行：五个数：\(N,M,V,A,B\)，分别一个空格隔开。
第 \(2\) 到 \(M+1\) 行：三个数 \(i,j,e_{ij}\)，分别一个空格隔开。
【输出】
一行：BM 在 B 国的最低价格，精确到 \(10^{-6}\)。如果没有最小值，输出 \(0\)。
【输入样例】
3 4 60 1 2
1 2 0.2
1 3 5
3 2 0.5
2 1 5
【输出样例】
12.00
【核心思想】
-
问题分析：有 \(N\) 个国家，\(M\) 种汇率（有向边 \(i \to j\) 的汇率为 \(e_{ij}\)）。商品在起始国 \(A\) 的价格为 \(V\)，通过不断兑换货币，商品价格会乘以汇率（例如从 \(A\) 到 \(B\)：\(V \times e_{A \to X} \times e_{X \to Y} \times \cdots\)）。目标是求在目标国 \(B\) 的最低可能价格。若存在一个兑换环使得总乘积 < 1（即不断兑换可降低价格至任意小），则无最小值，输出 0。本质是带权有向图的最短路问题，边权为汇率（正实数），求从 \(A\) 到 \(B\) 的最小乘积路径。
-
算法选择：
- SPFA 求最短路（乘积最小）：将汇率视为边权，定义距离 \(dis[v]\) 为从 \(A\) 到 \(v\) 的最小乘积。松弛操作为：若 \(dis[v] > dis[u] \times w_{u \to v}\)，则更新。这与普通最短路（加法）类似，只是运算从加法变为乘法，单位元从 0 变为 1（\(A\) 的初始距离为 \(V\)）。
- 负环检测：若存在一个环，其汇率乘积 < 1，则在该环上不断兑换会使得价格无限降低，即 \(dis[B]\) 可趋于 0（无最小值）。SPFA 通过检测节点入队次数是否超过 \(N\) 来判断是否存在这样的“负环”（乘积环）。
-
关键步骤：
- 读入数据：\(N, M, V, A, B\)，以及 \(M\) 条有向边 \((u, v, e)\)。
- SPFA 初始化：\(dis[A] = V\)，其余 \(dis[i] = \infty\)。队列初始包含 \(A\)。
- 松弛操作：从队列取出 \(u\)，遍历所有出边 \(u \to v\) 权值 \(w\)，若 \(dis[v] > dis[u] \times w\)，则更新 \(dis[v]\)，并将 \(v\) 入队，同时增加 \(cnt[v]\) 入队计数。
- 检测负环：若某节点入队次数超过 \(N\)，说明存在可无限降低价格的兑换环，标记并退出。
- 输出：若无负环，输出 \(dis[B]\)（保留 6 位小数）；否则输出 \(0\)。
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：SPFA 平均 \(O(M)\)，最坏 \(O(NM)\)，\(N \le 2000, M \le 25000\)，可接受。
- 空间复杂度：\(O(N+M)\)。
-
SPFA + 乘积最短路的：
- 对数转换（可选）：若用加法最短路，可对汇率取对数 \(\log(e)\)，将乘积转化为加法（\(V \times e_1 \times e_2 = V \times e^{\ln e_1 + \ln e_2}\)）。但直接使用乘法更直观，SPFA 同样适用。
- 负环的乘积特征：环的汇率乘积 < 1 等价于 \(\sum \ln(e) < 0\)，即对数图中的负环。SPFA 的入队次数检测通用。
- 精度处理：使用
long double保证浮点精度，满足 \(10^{-6}\) 的输出要求。 - 适用场景：适用于货币兑换、单位转换等可乘积路径问题，求最小或最大乘积，特别是存在“套利”机会（乘积 < 1 的环）需检测无界情况。
【算法标签】
普及 #SPFA
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define double long double // 使用更高精度，避免浮点误差
typedef pair<int, double> PII; // 邻接表元素：目标国家，汇率
const int N = 2005;
int n, m, A, B; // 国家数，汇率数，起始国，目标国
double V; // BM在起始国的价格
double dis[N]; // 到每个国家的最低价格（乘积最小值）
vector<PII> g[N]; // 邻接表存图
bool flag; // 标记是否存在负环（此处指可无限降低价格的环）
int cnt[N]; // 记录每个节点入队次数，用于检测负环
// SPFA算法求从A到所有国家的最低价格（等价于求最短路径，边权为汇率乘积）
void spfa()
{
// 初始化所有距离为极大值
for (int i = 1; i <= n; i++)
dis[i] = 1e18;
dis[A] = V; // 起始国价格为V
queue<int> q;
q.push(A);
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
// 遍历从u出发的所有汇率边
for (auto [v, w] : g[u])
{
// 如果通过u到达v的价格比当前记录更低，则更新
if (dis[v] > dis[u] * w)
{
dis[v] = dis[u] * w;
q.push(v);
cnt[v]++; // 入队次数加一
// 如果某个节点入队超过n次，说明存在负环（可无限降低价格）
if (cnt[v] > n)
{
flag = true; // 标记存在负环，即价格可以无限降低，无最小值
return;
}
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m >> V >> A >> B;
// 读入所有汇率边
while (m--)
{
int u, v;
double w;
cin >> u >> v >> w;
g[u].push_back({v, w}); // 有向边：u -> v 汇率为w
}
spfa();
// 如果存在负环（价格可无限降低），则没有最小值，输出0
if (flag)
cout << 0 << endl;
else
// 输出目标国B的最低价格，保留6位小数
printf("%.6Lf\n", dis[B]);
return 0;
}
【运行结果】
3 4 60 1 2
1 2 0.2
1 3 5
3 2 0.5
2 1 5
12.000000
浙公网安备 33010602011771号