题解：洛谷 P2615 神奇的幻方

【题目来源】

洛谷：P2615 [NOIP 2015 提高组] 神奇的幻方 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

幻方是一种很神奇的 \(N\times N\) 矩阵：它由数字 \(1,2,3,\dots,N\times N\) 构成，且每行、每列及两条对角线上的数字之和都相同。

当 \(N\) 为奇数时，我们可以通过下方法构建一个幻方：

首先将 1 写在第一行的中间。

之后，按如下方式从小到大依次填写每个数 \(K(K=2,3,\dots,N\times N)\) ：

1. 若 \((K-1)\) 在第一行但不在最后一列，则将 \(K\) 填在最后一行，\((K-1)\) 所在列的右一列；
2. 若 \((K-1)\) 在最后一列但不在第一行，则将 \(K\) 填在第一列，\((K-1)\) 所在行的上一行；
3. 若 \((K-1)\) 在第一行最后一列，则将 \(K\) 填在 \((K-1)\) 的正下方；
4. 若 \((K-1)\) 既不在第一行，也不在最后一列，如果 \((K-1)\) 的右上方还未填数，则将 \(K\) 填在 \((K-1)\) 的右上方，否则将 \(K\) 填在 \((K-1)\) 的正下方。

现给定 \(N\) ，请按上述方法构造 \(N\times N\) 的幻方。

【输入】

一个正整数 \(N\)，即幻方的大小。

【输出】

共 \(N\) 行，每行 \(N\) 个整数，即按上述方法构造出的 \(N\times N\) 的幻方，相邻两个整数之间用单空格隔开。

【输入样例】

3

【输出样例】

8 1 6
3 5 7
4 9 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个奇数 \(N\)，按照特定规则在 \(N \times N\) 的矩阵中填入 \(1\) 到 \(N^2\) 的数字，构造一个幻方。规则定义了数字 \(K\)（从 2 开始）的放置位置基于前一个数字 \((K-1)\) 的位置，有四种情况。本质是一个按规则模拟位置移动的问题，只需按照规则逐一确定每个数字的坐标并填入即可。

2. 算法选择：

   • 直接模拟：使用二维数组存储幻方，用变量 (x, y) 记录当前数字的位置。从 1 开始，依次根据规则计算下一个数字的位置并填入。由于规则明确且 \(N\) 较小（通常 \(N \le 39\)），模拟过程非常直接。
   • 规则优先级：规则有明确的优先级顺序（1→2→3→4），按顺序判断即可。

3. 关键步骤：

   • 初始化：将数字 1 放在第一行的中间位置，即 x = 1, y = n/2 + 1，a[x][y] = 1。
   • 循环填充：对于 k 从 2 到 \(N^2\)，根据当前 (x, y)（即 \(k-1\) 的位置）判断：
     1. 若 x == 1 && y != n，则新位置为 (n, y+1)（最后一行，右一列）。
     2. 否则若 y == n && x != 1，则新位置为 (x-1, 1)（上一行，第一列）。
     3. 否则若 x == 1 && y == n，则新位置为 (x+1, y)（正下方）。
     4. 否则（x != 1 && y != n），若右上方 (x-1, y+1) 为空，则新位置为右上方；否则为正下方 (x+1, y)。
     • 将 k 填入新位置。
   • 输出：按行输出矩阵。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2)\)，需要填充 \(N^2\) 个数字。
   • 空间复杂度：\(O(N^2)\)，用于存储幻方。

5. 模拟与规则遵循：

   • 规则优先级：代码中的 if-else if 结构严格按照题目给定的顺序判断，确保正确处理边界情况。
   • 边界处理：第 3 种情况（右上角）需要单独处理，因为前两种条件都不满足（第一行且最后一列）。
   • 空位检查：第 4 种情况需要检查右上方是否已被占用，这是唯一需要查询数组状态的地方。
   • 适用场景：这类“按规则填充矩阵”的模拟题在 NOIP 普及组中很常见，核心是准确理解规则并用代码复现。

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    // 定义变量
    int n, a[42][42] = {0}, x, y;  // n: 幻方阶数，a: 幻方数组，x,y: 当前位置坐标
    cin >> n;  // 输入幻方阶数（奇数）

    // 初始化第一个数字的位置（第一行中间列）
    x = 1;
    y = n/2 + 1;
    a[x][y] = 1;  // 放置数字1

    // 填充幻方（从数字2到n*n）
    for (int i = 2; i <= n*n; i++) {
        // 情况1: 当前位置在第一行但不在最后一列
        if (x == 1 && y != n) {
            x = n;    // 跳到最后一行
            y = y + 1; // 右移一列
        }
        // 情况2: 当前位置在最后一列但不在第一行
        else if (y == n && x != 1) {
            y = 1;    // 跳到第一列
            x = x - 1; // 上移一行
        }
        // 情况3: 当前位置在第一行最后一列（右上角）
        else if (x == 1 && y == n) {
            x = x + 1; // 直接下移一行
        }
        // 情况4: 当前位置不在边界
        else if (x != 1 && y != n) {
            // 检查右上角是否为空
            if (a[x-1][y+1] == 0) {
                x = x - 1; // 右上移动
                y = y + 1;
            } else {
                x = x + 1; // 直接下移
            }
        }
        a[x][y] = i;  // 放置当前数字
    }

    // 输出幻方
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cout << a[i][j] << " ";  // 输出每个数字
        }
        cout << endl;  // 每行结束换行
    }
    return 0;
}

【运行结果】

8 1 6
3 5 7
4 9 2