题解：洛谷 P2415 集合求和

【题目来源】

洛谷：P2415 集合求和 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

给定一个集合 \(s\)（集合元素数量 \(\le 30\)），求出此集合所有子集元素之和。

【输入】

集合中的元素（元素 \(\le 1000\)）

【输出】

\(s\) 所有子集元素之和。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

10

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个包含不超过 30 个元素的集合 \(s\)，需要计算该集合所有子集的元素之和。每个元素在多少个子集中出现？对于包含 \(n\) 个元素的集合，每个元素出现在 \(2^{n-1}\) 个子集中（因为对于该元素之外的 \(n-1\) 个元素，每个都可以选择出现或不出现）。因此，所有子集元素之和 = 集合元素总和 \(\times 2^{n-1}\)。本质是组合数学问题，利用每个元素出现次数的对称性。

2. 算法选择：

   • 数学公式：直接计算元素总和 sum 和元素个数 n，答案即为 sum * 2^(n-1)。由于 \(n \le 30\)，\(2^{29}\) 在 long long 范围内，无需高精度。
   • 读入处理：使用 while(cin >> a) 循环读取所有元素，直到输入结束。

3. 关键步骤：

   • 读取与累加：使用循环读入每个元素 a，累加到 ans，并计数 k++。
   • 计算答案：ans *= pow(2, k-1)（或使用左移 1 << (k-1)）。
   • 输出：输出 ans。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，\(n\) 是元素个数。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 组合计数与幂运算：

   • 核心公式：每个元素在所有子集中出现的次数为 \(2^{n-1}\)，所以总和为 sum * 2^(n-1)。
   • 幂运算：pow(2, k-1) 返回 double，但结果在整数范围内，可直接用 1LL << (k-1) 更精确。
   • 适用场景：这类“集合子集求和”问题，核心是发现每个元素的出现次数规律，避免枚举所有子集。

【算法标签】

普及- #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

long long ans;           // 定义变量：存储最终结果（使用long long防止溢出）
int a, k = 0;            // 定义变量：a存储当前输入数字，k统计输入数字个数

int main()
{
    // 循环读取输入的数字，直到输入结束
    while (cin >> a)
    {
        ans += a;  // 累加所有输入数字的和
        k++;       // 统计输入数字的个数
    }

    // 计算结果：总和乘以2的(k-1)次方
    ans = (long long)ans * pow(2, k - 1);

    // 输出最终结果
    cout << ans << endl;

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

2 3
^Z
10