题解：洛谷 P2241 统计方形（数据加强版）

【题目来源】

洛谷：P2241 统计方形（数据加强版） - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

有一个 \(n\times m\) 方格的棋盘，求其方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

【输入】

一行，两个正整数 \(n,m(n\le 5000,m\le 5000)\)。

【输出】

一行，两个正整数，分别表示方格包含多少正方形、长方形（不包含正方形）。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

8 10

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个 \(n \times m\) 的方格棋盘，需要统计其中包含的正方形和长方形（不包括正方形）的数量。对于每个由 \(i \times j\) 个小方格组成的子矩形（\(1 \le i \le n, 1 \le j \le m\)），它在棋盘中的位置数为 \((n-i+1) \times (m-j+1)\)。若 \(i = j\) 则为正方形，否则为长方形。可以通过双重循环累加所有子矩形的数量，并分别统计正方形和长方形。

2. 算法选择：

   • 数学推导 / 双重循环：枚举所有可能的子矩形尺寸 \((i, j)\)，其中 \(i\) 为高度（格数），\(j\) 为宽度（格数）。每个尺寸的子矩形在棋盘中的数量为 \((n-i+1)(m-j+1)\)。若 \(i=j\)，则计入正方形总数；否则计入长方形总数。
   • 优化：由于 \(n, m \le 5000\)，双重循环 \(O(nm)\) 是可行的（2500万次操作），但需使用 long long 避免溢出。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(n\) 和 \(m\)。
   • 初始化：square = 0，rectangle = 0。
   • 枚举子矩形尺寸：循环 \(i\) 从 1 到 \(n\)，\(j\) 从 1 到 \(m\)：
     • 计算该尺寸子矩形的数量：cnt = (n - i + 1) * (m - j + 1)。
     • 若 i == j，square += cnt。
     • 否则，rectangle += cnt。
   • 输出：square 和 rectangle。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times m)\)，\(n, m \le 5000\) 时可接受。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 组合计数与数学：

   • 子矩形计数公式：在 \(n \times m\) 网格中，大小为 \(i \times j\) 的子矩形有 \((n-i+1)(m-j+1)\) 个。
   • 分类：正方形 \(i=j\)，长方形 \(i \ne j\)。
   • 适用场景：这类“统计网格中特定形状数量”的问题，常用枚举尺寸并利用位置数公式解决。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含常用的头文件
using namespace std;

int main()
{
    // 定义变量
    long long n, m, z = 0, c = 0;  // n 和 m 是输入的两个维度，z 和 c 是计算结果
    // 注意：5000*5000 的累加结果会超过 int 的最大范围，因此使用 long long

    // 输入 n 和 m
    cin >> n >> m;

    // 双重循环遍历 i 和 j
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 计算 z：累加 min(i, j)
            z += min(i, j);
            // 计算 c：累加 i*j - min(i, j)
            c += i * j - min(i, j);
        }
    }

    // 输出结果 z 和 c
    cout << z << " " << c;

    return 0;  // 程序结束
}

【运行结果】

2 3
8 10