题解：洛谷 P2089 烤鸡

【题目来源】

洛谷：P2089 烤鸡 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

猪猪 Hanke 特别喜欢吃烤鸡（本是同畜牲，相煎何太急！）Hanke 吃鸡很特别，为什么特别呢？因为他有 \(10\) 种配料（芥末、孜然等），每种配料可以放 \(1\) 到 \(3\) 克，任意烤鸡的美味程度为所有配料质量之和。

现在，Hanke 想要知道，如果给你一个美味程度 \(n\) ，请输出这 \(10\) 种配料的所有搭配方案。

【输入】

一个正整数 \(n\)，表示美味程度。

【输出】

第一行，方案总数。

第二行至结束，\(10\) 个数，表示每种配料所放的质量，按字典序排列。

如果没有符合要求的方法，就只要在第一行输出一个 \(0\)。

【输入样例】

11

【输出样例】

10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

【核心思想】

1. 问题分析：有 10 种配料，每种配料的用量只能是 1、2 或 3 克。给定总美味程度 \(n\)（即所有配料质量之和），需要找出所有可能的配料用量组合，按字典序输出方案总数和具体方案。由于每种配料只有 3 种选择，总共 \(3^{10} = 59049\) 种组合，完全枚举是可行的。

2. 算法选择：

   • 十重循环枚举：直接使用 10 层嵌套循环遍历所有可能的用量组合（每层循环 1 到 3），检查总和是否等于 \(n\)。如果相等，则记录方案并输出。
   • DFS 搜索（备选）：也可用深度优先搜索生成所有组合，但嵌套循环在此题中足够简洁。
   • 复杂度：\(3^{10} = 59049\) 种组合，每次检查 \(O(1)\)，总操作约 6 万次，非常快。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(n\)。
   • 合法性检查：若 \(n < 10\) 或 \(n > 30\)，则无解（因为每种配料至少 1 克，最多 3 克），输出 0 并结束。
   • 第一次遍历：统计满足条件的方案总数。
   • 第二次遍历：再次遍历所有组合，输出满足条件的方案（按字典序，因为循环顺序天然是从小到大）。
   • 输出：先输出方案总数，再输出每个方案。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(3^{10})\)。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 暴力枚举：

   • 数据规模小：\(3^{10}\) 是可控的，因此直接枚举所有组合是最简单直接的方法。
   • 字典序输出：由于循环顺序是按 a0 到 a9 递增，天然满足字典序。
   • 适用场景：当状态空间有限且可穷举时，暴力枚举是最可靠的解法。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, ans=0;
    cin >> n;  // 输入目标和n

    // 检查n的范围是否合法（10到30）
    if (n<10 || n>30) {
        cout << 0;  // 不合法直接输出0
        return 0;
    }

    // 十层嵌套循环，每层代表一个数字（a0到a9），每个数字取值1-3
    for (a0=1; a0<=3; a0++) {
        for (a1=1; a1<=3; a1++) {
            for (a2=1; a2<=3; a2++) {
                for (a3=1; a3<=3; a3++) {
                    for (a4=1; a4<=3; a4++) {
                        for (a5=1; a5<=3; a5++) {
                            for (a6=1; a6<=3; a6++) {
                                for (a7=1; a7<=3; a7++) {
                                    for (a8=1; a8<=3; a8++) {
                                        for (a9=1; a9<=3; a9++) {
                                            // 检查当前组合的和是否等于n
                                            if (a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9==n) {
                                                ans++;  // 计数器增加
                                            }
                                        }
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 输出满足条件的组合数量
    cout << ans << endl;

    // 再次遍历所有可能组合，输出每个有效组合
    for (a0=1; a0<=3; a0++) {
        for (a1=1; a1<=3; a1++) {
            for (a2=1; a2<=3; a2++) {
                for (a3=1; a3<=3; a3++) {
                    for (a4=1; a4<=3; a4++) {
                        for (a5=1; a5<=3; a5++) {
                            for (a6=1; a6<=3; a6++) {
                                for (a7=1; a7<=3; a7++) {
                                    for (a8=1; a8<=3; a8++) {
                                        for (a9=1; a9<=3; a9++) {
                                            // 检查并输出满足条件的组合
                                            if (a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9==n) {
                                                printf("%d %d %d %d %d %d %d %d %d %d\n",
                                                      a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9);
                                            }
                                        }
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

11
10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1