题解：洛谷 P1923 求第k小的数

【题目来源】

洛谷：P1923 【深基9.例4】求第 k 小的数 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

输入 \(n\)（\(1\le n\lt 5000000\) 且 \(n\) 为奇数）个数字 \(a_i(1\le a_i\lt 10^9)\)，输出这些数字的第 \(k\) 小的数。最小的数是第 \(0\) 小。

请尽量不要使用 nth_element 来写本题，因为本题的重点在于练习分治算法。

【输入】

无

【输出】

无

【输入样例】

5 1
4 3 2 1 5

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个长度为 \(n\)（\(n \le 5\times10^6\)）的数组，要求找出第 \(k\) 小的数（\(k\) 从 0 开始计数）。由于 \(n\) 较大，不能对整个数组排序，需要使用快速选择算法（基于快速排序的分治思想），在平均 \(O(n)\) 时间内找到第 \(k\) 小的元素。

2. 算法选择：

   • 快速选择：利用快速排序的分区操作，每轮确定基准值的最终位置 p。若 p == k，则找到答案；若 k < p，在左半部分递归；否则在右半部分递归。只需递归一侧，平均时间复杂度为 \(O(n)\)。
   • 优化：可使用随机基准或三数取中避免最坏情况，但本题数据下中间基准足够。

3. 关键步骤：

   • 读入：使用 ios::sync_with_stdio(false) 加速输入，读取 \(n\) 和 \(k\)，以及数组 \(a[0..n-1]\)。
   • 快速选择函数：quickSelect(l, r)：
     • 若 l >= r，返回。
     • 选择基准 pivot = a[(l+r)/2]，双指针 i = l，j = r。
     • 循环：while (a[i] < pivot) i++，while (a[j] > pivot) j--，若 i <= j 则交换并移动指针。
     • 分区结束后，j 和 i 将数组分为三部分：[l..j]（\(\le\) pivot），[j+1..i-1]（\(=\) pivot），[i..r]（\(\ge\) pivot）。
     • 若 k <= j，递归左部分；若 k >= i，递归右部分；否则，k 在当前中间部分，直接返回。
   • 输出：a[k]。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：平均 \(O(n)\)，最坏 \(O(n^2)\)（但可优化）。
   • 空间复杂度：\(O(\log n)\)，递归栈深度。

5. 快速选择 vs 排序：

   • 核心优势：只递归一侧，平均时间复杂度为 \(O(n)\)，比 \(O(n \log n)\) 的排序更快，尤其适合 \(n\) 很大的情况。
   • 适用场景：寻找第 \(k\) 大/小的元素、中位数等。
   • 注意：\(k\) 从 0 开始计数，与数组下标一致。

【算法标签】

普及- #快速排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库中的所有头文件
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int n, k, a[5000005];     // 定义全局变量n（数组长度）、k（目标位置）、a（数组）

// 快速选择函数，用于找到第k小的元素
void qs(int l, int r) {
    int i = l, j = r;              // 初始化左右指针
    int mid = a[(l + r) / 2];      // 选择中间元素作为基准值（pivot）

    // 分区操作
    while (i <= j) {
        while (a[i] < mid) i++;    // 从左向右找到第一个大于等于基准值的元素
        while (a[j] > mid) j--;    // 从右向左找到第一个小于等于基准值的元素
        if (i <= j) {              // 如果i和j没有交叉
            swap(a[i], a[j]);      // 交换这两个元素
            i++;                   // 移动左指针
            j--;                   // 移动右指针
        }
    }

    // 递归处理目标区间
    if (k <= j) qs(l, j);          // 如果k在左半部分，递归处理左半部分
    else if (k >= i) qs(i, r);     // 如果k在右半部分，递归处理右半部分
    else if (k >= j && k <= i) return;  // 如果k在当前区间内，直接返回
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);  // 关闭同步，加速输入输出
    cin >> n >> k;                     // 输入数组长度n和目标位置k
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];  // 输入数组元素

    qs(0, n - 1);  // 调用快速选择函数，找到第k小的元素

    cout << a[k];  // 输出第k小的元素
    return 0;      // 程序正常结束
}

【运行结果】

5 1
4 3 2 1 5
2